Omgekeerd evenredig

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Machtsfuncties > Omgekeerd evenredig > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Machtsfuncties > Omgekeerd evenredig > Uitleg

Bekijk in de Uitleg de reistijd van Apeldoorn naar Deventer afhankelijk van de gemiddelde snelheid.
Iemand uit Apeldoorn bezoekt regelmatig familie in Rotterdam. De afstand tussen Apeldoorn en Rotterdam is ongeveer 150 kilometer.
1. Hoe lang duurt de rit als er gemiddeld 100 kilometer per uur wordt gereden?
2. Met welke snelheid is er gemiddeld gereden als de rit twee uur duurt?
3. Hoe bereken je de tijdsduur als je de gemiddelde snelheid weet?
4. Hoe bereken je de gemiddelde snelheid als je de tijdsduur weet? Neem voor de tijdsduur de variabele `t` en voor de gemiddelde snelheid de variabele `v`.
5. Geef een formule voor `t` als functie van `v`.
6. Geef ook een formule die `v` uitdrukt in `t`.
7. Voor welke waarden van `v` is deze formule volgens jou bruikbaar?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Machtsfuncties > Omgekeerd evenredig > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Bekijk Voorbeeld 1. Lengte `l` en breedte `b` van een rechthoek met een vaste oppervlakte van 1 m² zijn omgekeerd evenredig.
1. Welke drie formules kun je opschrijven voor het verband tussen `l` en `b` als beide in cm zijn?
2. Teken de grafiek van `l` als functie van `b` op je grafische rekenmachine.
  Welke asymptoten heeft deze grafiek?
3. Laat met behulp van de formule uit b zien dat `l` wordt gehalveerd als `b` wordt verdubbeld.
4. Als `b` tien keer zo groot wordt, hoeveel keer zo groot wordt `l` dan?
5. Als `b` ééntiende keer zo groot wordt, hoeveel keer zo groot wordt `l` dan?

In Voorbeeld 2 zie je dat de lichtsterkte S (in Watt/m²) van een lamp omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand r (in m) tot de lichtbron.
1. Waarom betekent dit in wiskundetaal `S = c/(r^2)`?
2. Leg uit waarom voor een lamp met een vermogen van 1000 Watt geldt `c = 1000`.
3. In een straatlantaarn zit een lamp met een vermogen van 1000 Watt op 4,5 m hoogte. Hoeveel bedraagt te lichtsterkte op de grond, recht onder de lamp?
4. Welke asymptoten heeft de grafiek van `S = 1000/(r^2)`?
5. In een straatlantaarn zit een lamp van 1000 Watt. De lichtsterkte op de grond recht onder de lamp bedraagt 50 W/m². Hoe hoog hangt de lamp?

Gegeven is de formule `y = 6/(x^(1,5))`.
1. Maak de grafiek bij deze formule.
2. Maak ook de grafiek bij `y = 6 * x^(-1,5)`. Wat valt je op? Verklaar dit.
3. Verklaar de uitspraak: omgekeerd evenredig met een macht van `x` is hetzelfde als recht evenredig met de tegengestelde macht van `x`.
4. Welke asymptoten heeft deze grafiek?
In Voorbeeld 3 zie je hoe `6/(x^(1,5)) = 3` op twee manieren kan worden opgelost.
1. Los nu zelf `6/(x^(1,5)) = 12` op deze twee manieren op.

Schrijf de volgende functies in de vorm `y = ax^b`. Doe dit nu zelf bij de volgende functies:
1. `y_1 = 6/(2x^4)`
2. `y_2 = 1/(3x^6)`
3. `y_3 = (12x^8)/(4x^10)`
4. `y_4 = 4/(sqrt(x))`

Verwerken

In een groot winkelbedrijf wordt onderzocht hoe de tomatenverkoop afhangt van de prijs. Iemand beweert dat de volgende formule geldt:
`a = 500/p`
Hierin is `a` de verkoop per dag in kilogrammen en `p` de prijs per kilogram in euro.
1. Maak een grafiek waaruit je de verkoop kunt aflezen voor prijzen tussen de € 1,= en € 5,= per kilogram.
2. Iemand zegt: "Een verdubbeling van de prijs zorgt voor een halvering van de verkoop". Klopt dat?
3. Klopt deze bewering met de formule: “Als de prijs vijf keer zo hoog wordt, wordt de verkoop vijf keer zo klein.”?
4. Geef twee andere formules voor hetzelfde verband tussen `a` en `p`.
5. In het bedrijf heeft men een voorraad van 300 kg tomaten. Die is niet lang meer houdbaar en men wil er binnen een dag vanaf. Wat mag de prijs maximaal zijn volgens de formule?
Een formule zoals `a = 500/p` is meestal slechts bruikbaar op een beperkt gebied. Dat kun je zien als je voor `p` extreme gevallen neemt.
1. Wat zal volgens de formule de verkoop zijn bij een prijs van € 0,01? En bij een prijs van € 100,=? Zal dit in werkelijkheid ook zo zijn?
2. Geef aan voor welke prijzen de formule volgens jou bruikbaar zou kunnen zijn.

Een kaasboer houdt bij hoeveel kilo geraspte kaas hij per week verkoopt. Het blijkt dat de hoeveelheid `k` (in kg) die hij verkoopt omgekeerd evenredig is met de prijs `p` per kilo. Bij een prijs van € 13,= per kilo verkoopt hij vijftien kilogram geraspte kaas.
1. Bereken `p * k` met behulp van de gegevens en geef vervolgens een formule die `k` uitdrukt in `p`.
2. Bereken het aantal verkochte kilo’s als de prijs € 10,= per kilogram is.

Schrijf de volgende functies in de vorm `y = a * x^b`.
1. `y_1 = 4/(8x^3)`
2. `y_2 = (4x^2)/(8x^3)`
3. `y_3 = (-3)/(sqrt(x))`

Bekijk de grafiek die het verband tussen de snelheid en de tijd weergeeft voor iemand die van Utrecht naar Den Bosch reist. De (gemiddelde) snelheid `v` (in km/uur) is omgekeerd evenredig met de tijd `t` (in uur).
1. Een wandelaar heeft een gemiddelde snelheid van vijf kilometer per uur. Hoe lang doet hij over de afstand Utrecht - Den Bosch?
2. Een fietser doet vijf uur over deze afstand. Wat is zijn gemiddelde snelheid?
3. Bereken uit je antwoorden bij a en b het product van de tijd en de snelheid. Stel een formule op die bij de grafiek past.
4. De trein van Utrecht naar Den Bosch doet er ongeveer 25 minuten over. Hoeveel kilometer per uur rijdt de trein?

In de onderstaande tabel zie je voor verschillende rentepercentages de verdubbelingstijd: de tijd die nodig is om het kapitaal te laten verdubbelen.

rentepercentage per jaar 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

verdubbelingstijd in jaren 23,4 20,1 17,7 15,7 14,2
1. Laat met berekeningen zien dat tussen het rentepercentage en de verdubbelingstijd ongeveer een omgekeerd evenredig verband bestaat.
2. Druk de verdubbelingstijd `T` uit in het rentepercentage `r`.
3. Bereken met behulp van de formule uit b de verdubbelingstijd bij een rentepercentage van 3,75.
4. Bereken de verdubbelingstijd uit c door met je grafische rekenmachine deze vergelijking op te lossen: `(1,0375)^T = 2`.
5. Maak c en d nog eens, maar nu voor een rentepercentage van 12.
6. Welke conclusie kun je uit de antwoorden bij e trekken over de geldigheid van de formule uit b?

Toetsen

Dat wijnglazen groter zijn dan portglazen is niet toevallig. Voor de inhoud `I` (in cm³) van een glas en het alcoholpercentage `p` van de drank die erin hoort geldt namelijk ongeveer deze formule: `p * I = 1200`.
1. Leid uit het bovenstaande af of wijn een hoger of lager alcoholpercentage heeft dan port.
2. Gewoon bier heeft een alcoholpercentage van ongeveer 5. Bereken de inhoud van een bierglas.
3. Een jeneverglas heeft een inhoud van 35 cm³. Wat is het alcoholpercentage van jenever?
4. Geef een formule voor `I` als functie van `p`.
5. Alcoholarm bier heeft een percentage van 2. Is de formule nog bruikbaar voor alcoholarm bier? Tussen welke grenzen kun je `p` ongeveer laten variëren?

Schrijf de volgende functies in de vorm `y = a * x^b`.
1. `y_1 = 1/(2x)`
2. `y_2 = 2/(x^3)`
3. `y_3 = 1/(2sqrt(x))`
4. `y_4 = (3x)/(4x^2 sqrt(x))`

Plaatjes in bijvoorbeeld boeken, tijdschriften en kranten bestaan meestal uit een groot aantal stipjes (of streepjes). Hoe meer stipjes per cm², hoe duidelijker het plaatje. In de tabel zie je hoe bij het aantal stippen per cm² de oppervlakte per stip varieert.

aantal stippen per cm² 10 25 50 100 150 200

oppervlakte van één stip in cm² 0,090 0,036 0,018 0,009 0,006 0,0045
1. Toon aan dat het verband tussen het aantal stippen `a` per cm² en de oppervlakte per stip `A` (in cm²) omgekeerd evenredig is.
2. Geef een formule die `A` uitdrukt in `a`.
3. Bij hoeveel stippen per cm² is de oppervlakte per stip kleiner dan 0,001 cm²?

rentepercentage per jaar	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0
verdubbelingstijd in jaren	23,4	20,1	17,7	15,7	14,2

aantal stippen per cm²	10	25	50	100	150	200
oppervlakte van één stip in cm²	0,090	0,036	0,018	0,009	0,006	0,0045