Werken met machten

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Machtsfuncties > Werken met machten > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Machtsfuncties > Werken met machten > Uitleg

Opgaven

    1. Bestudeer in de Uitleg de formule voor de inhoud van de kubus.
      1. Bereken de ribbe van een kubus waarvan de inhoud `125` cm3 is.
      2. Ga na, dat `(125)^(1//3) = root[3](125)`.
      3. Bereken de ribben van een kubus met een inhoud van `500` cm3.
      4. Ga na, dat `(500)^(1//3) = root[3](500)`.

    2. Ook het verband tussen de ribbe `r` en de oppervlakte `A` van een kubus is een machtsverband. De bijbehorende formule is: `A = 6 r^2`.
      1. Bereken de ribbe van een kubus met een oppervlakte van `216` cm2.
      2. Ga na, dat `(36)^(1//2) = sqrt(36)`.
      3. Bereken de ribbe van een kubus met een oppervlakte van `300` cm2.
      4. Ga na, dat `(50)^(1//2) = sqrt(50)`.

    Theorie

    www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Machtsfuncties > Werken met machten > Theorie

    Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

    1. Bekijk de rekenregels voor machten in de Theorie. Met behulp van grafieken kun je ze voor bijzondere gevallen controleren.
      1. Bekijk de uitdrukking `x^2 * x^3`. Is dit nu gelijk aan `x^6` of aan `x^5`?
        Vind het juiste antwoord door de grafieken van `y_1 = x^2 * x^3`, `y_2 = x^6` en `y_3 = x^5` te vergelijken.
      2. Bekijk de uitdrukking `x^5 // x^3`. Is dit nu gelijk aan `x^(5//3)` of `x^2`?
        Vind het juiste antwoord door de grafieken van `y_1 = x^5 // x^3`, `y_2 = x^(5//3)` en `y_3 = x^2` te vergelijken.
      3. Zoek op deze manier zelf uit of `(x^2)^3` gelijk is aan `x^5` of `x^6`.
      4. Bekijk de grafiek van `y = x^0`. Verklaar waarom die grafiek er zo uitziet.
      5. Je kunt `x^3 // x^5` schrijven als `x^(-2)`, maar ook als `1 // x^2`. Leg dat uit.
        Welke rekenregel voor machten volgt hier uit?
      6. Waarom is het van belang dat `x != 0` bij de meeste rekenregels? Bij welke is dat niet belangrijk?

    2. Bekijk de grafieken van `y_1 = sqrt(x)` en `y_2 = x^(0,5)`.
      1. Wat valt je op? Met welke rekenregel uit de Theorie heeft dit te maken?
      2. Laat zien dat `xsqrt(x) = x^(1,5)`.
      3. Schrijf `y = x^2 root[3](x)` als machtsfunctie, dus in de vorm `y = x^b`.

    3. Bekijk Voorbeeld 1. Laat zien dat
      1. `x^2 * 4x^3 = 4x^5`
      2. `(3x)^2 * 4x = 36x^3`
      3. `(6x^8)/((2x^2)^2) = 1,5x^4`
      4. `4xsqrt(x) * 3x^2 = 12x^(2,5)`
      5. `(12x^5)/(3x^7) = 4x^(-2)`
      6. `4(root[4](x))^6 = 4x^(1,5)`

    4. In Voorbeeld 2 zie je hoe bepaalde functies kunnen worden geschreven als machtsfunctie, dus in de vorm `y = ax^b`. Doe dit nu zelf bij de volgende functies:
      1. `y_1 = 2sqrt(x)`
      2. `y_2 = (300x^2)/(2x^(1,6))`
      3. `y_3 = 1,3x^3 sqrt(x)`
      4. `y_4 = (5x^(0,2))/(sqrt(x))`

    5. Er bestaat een verband tussen het zuurstofverbruik `Z` en de lichaamsmassa `m` bij zoogdieren. In Voorbeeld 3 kun je nalezen hoe daarvoor een formule kan worden opgesteld. Daarbij worden de gegevens van de muis en het paard gebruikt.
      1. Stel nu zelf een passende formule op uitgaande van de gegevens van rat en mens.
      2. Kom je ook dan in de buurt van de formule die Kleiber heeft gevonden?
      3. Gebruik nu de formule van Kleiber. Van bepaald type koe is de lichaamsmassa 12 keer zo groot dan van de mens. Hoeveel keer zo groot is het zuurstofverbruik?
      4. Een bepaalde diersoort heeft een zuurstofverbruik van ongeveer 30 L/uur. Hoeveel bedraagt de lichaamsmassa ongeveer?

    Verwerken

    1. Een aantal dozen heeft allemaal een vierkant grondvlak en een vierkant bovenvlak en rechthoekige zijvlakken. Het grondvlak heeft zijden van `r` cm en de inhoud van de dozen is `I` cm3.
      1. Laat zien dat `I` recht evenredig is met `r^3`.
      2. Laat zien dat de doos waarop deze formule van toepassing is, twee keer zo hoog is als breed is.
      3. Neem nog eens de formule uit b. Laat zien, dat de inhoud van de doos 8 keer zo groot wordt als de zijde van het grondvlak met 2 wordt vermenigvuldigd.
      4. Voor één van deze dozen geldt `r = 25` en `I = 23437,5`. Hoe hoog is deze doos?
      Als je de inhoud van zo’n doos weet en je wilt de zijde van het grondvlak berekenen, dan kun je deze formule gebruiken: `r = (I/c)^(1//3)`.
      1. Licht dit toe.
      2. Van één van deze dozen is de hoogte 4 keer zo groot dan de zijden van het grondvlak en is de inhoud 1 liter.
        Bereken de lengte van een zijde van het grondvlak in mm nauwkeurig.

    2. Je ziet hier acht functies. Welke zijn gelijk? (Neem aan dat `x > 0`.)

      `y_1 = (4x^5)/(x^2)`   `y_2 = 4 * sqrt(x)`   `y_3 = 4x^3`   `y_4 = (100x)/(sqrt(x))`
      `y_5 = 4x^(1//2)`   `y_6 = 1/2 x * 4x^2`   `y_7 = 2 * x^3`   `y_8 = 100x^(1//2)`

    3. Schrijf de volgende functies in de vorm `y = a * x^b`.
      1. `y_1 = 4x^8 * 8x^3`
      2. `y_2 = (4x^8) // (8x^3)`
      3. `y_3 = (-3x^4)^3`
      4. `y_4 = x^3 sqrt(x) * 3x^2`

    4. Een formule voor inhoud `I` van een bol met straal `r` is: `I = 4/3 pi r^3`.
      1. Bereken de inhoud van een bol met een diameter van 50 cm.
      2. Bereken diameter van een bol met een inhoud van 1 liter.
      3. Stel een formule op voor `r` afhankelijk van `I`.
      4. Hoeveel keer zo groot wordt de straal van de bol als de inhoud 3 keer zo groot wordt?

      5. hemel-
      lichaam      		diameter
      (`xx 10^6` m)
      Mercurius4,866
      Venus12,160
      Aarde12,756
      Maan3,476
      Mars6,772
      Jupiter142,72
      Saturnus120,74
      Uranus51,2
      Neptunus45,4
      Pluto2,2
    5. In het informatieboek staat deze formule voor de kijkafstand `a` (in m) afhankelijk van de hoogte h (in m) waarop je je boven het grondoppervlak bevindt: `a = 3572 * h^(1//2)`.
      Deze formule geldt alleen op de aarde. Als je op een andere planeet of op de maan staat, moet de formule worden aangepast aan de straal van het betreffende hemellichaam.
      Het verband wordt dan beschreven met de formule: `a = 3572 * c * h^(1//2)`.
      De waarde van `c` hangt af van de diameter van het hemellichaam.
      Op de aarde kun bij een bepaalde hoogte ongeveer 3,67 keer zo ver kijken als op de maan. Dat getal is bij benadering gelijk aan de verhouding van hun twee diameters. Eenzelfde berekening kun je maken voor de overige hemellichamen.
      1. Leg uit waarom de constante `c` in deze formule kleiner is dan 1 voor de kijkafstand op de maan.
      2. Bepaal de waarde van `c` in de formule voor de kijkafstand op de maan. Licht je antwoord toe.
      3. Bepaal de waarde van `c` in de formule voor de kijkafstand op Saturnus. Licht je antwoord toe.
      4. Teken de grafieken voor de kijkafstand op verschillende denkbeeldige hemellichamen, voor `c = 0,25`, `c = 0,75` en `c = 1,25` op de grafische rekenmachine. Bedenk eerst welke grafiek de onderste en welke grafiek de bovenste zal worden en kijk naderhand of je gelijk had.
      5. Er is een constante `c` waarvoor geldt dat de kijkafstand vanaf een hoogte van 60 m boven het grondoppervlak ongeveer 20 km is. Hoort deze waarde van `c` bij een hemellichaam dat groter of kleiner is dan de aarde?

    Toetsen

    1. Schrijf de volgende functies in de vorm `y = a * x^b`.
      1. `y_1 = (15x^2)/x * 8x^3`
      2. `y_2 = 3x * sqrt(x)`
      3. `y_3 = (6x^3) // (x^2)`
      4. `y_4 = (2x^2)^(1//2)`

    2. De huidoppervlakte `H` van een schaap hangt af van zijn gewicht `G` (in kg) volgens de formule: `H = 8,4 * G^(2//3)`.
      1. Laat zien, dat bij een twee keer zo groot gewicht de huidoppervlakte ongeveer 1,6 keer zo groot wordt.
      2. Laat zien, dat uit deze formule kan worden afgeleid: `G = 0,041 * H^(3//2)`.
      3. Als de huidoppervlakte van een gemiddeld volwassen schaap twee keer zo groot is als die van een gemiddeld jong schaap, hoeveel keer zo zwaar is zo’n volwassen schaap dan?