Rekenen met machten

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Exponentiële verbanden > Rekenen met machten > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Exponentiële verbanden > Rekenen met machten > Uitleg

Opgaven

Bekijk het verhaal van de bacteriegroei in de Uitleg.
1. Hoeveel bacteriën heb je na 12 uur? En hoeveel heb je er vijf uur later?
2. Over welke rekenregels voor machten gaat opgave a?
3. Hoeveel bedraagt de groeifactor per 4 uur?
4. Bereken de groeifactor per dag vanuit de groeifactor per uur en nog eens vanuit de groeifactor per vier uur. Van welke rekenregel is dit een voorbeeld?

Waar of niet waar?
1. `2^3 * 2^5 = 2^(15)`
2. `11^(50) * 11^(50) = 11^(100)`
3. `3^7 + 2^7 = 5^7`
4. `(2^2)^3 = 2^6`

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Exponentiële verbanden > Rekenen met machten > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

In Voorbeeld 1 gebruik je de rekenregels voor machten. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één macht:
1. `2^3 * (2^4)^2`
2. `4^5 * 2^3`
3. `((5^2)^4)/(5 * 5^3)`
4. `(5^6)/(5^2 * 5^4)`

In Voorbeeld 2 zie je hoe je omrekent van een groeifactor per maand naar een groeifactor per half jaar en een groeifactor per jaar. Bekijk ook de bijbehorende groeipercentages. De groeifactor per uur is 1,02.
1. Hoeveel bedraagt het groeipercentage per uur?
2. Hoeveel bedraagt de groeifactor per dag? En het groeipercentage per dag?
De groeifactor per uur wordt 0,91.
1. Hoeveel bedraagt het groeipercentage per uur?
2. Hoeveel bedraagt de groeifactor per dag? En het groeipercentage per dag?

Iemand zet op 1-1-2000 op een bankrekening € 800,- tegen 6% rente. De rente wordt jaarlijks op de bankrekening bijgeschreven. Er wordt verder geen geld op de bankrekening gestort of geld van de bankrekening gehaald.
1. Wat is de groeifactor per jaar van het tegoed op de bankrekening?
2. Hoeveel staat er op de bankrekening op 1-1-2005? Laat zien hoe je dat berekent.
3. Welke formule geldt voor het spaartegoed `S(t)`, waarin `t` de tijd in jaren na 1-1-2000 is?
4. Hoe groot is de groeifactor per vijf jaar? Bereken ook het groeipercentage per vijf jaar.
5. Laat met berekeningen zien dat je op de volgende manieren het tegoed op 1-1-2020 kunt berekenen:
  - `t=20` invullen in de formule;
  - het tegoed op 1-1-2000 vermenigvuldigen met de groeifactor per 20 jaar;
  - het tegoed op 1-1-2000 vijf keer vermenigvuldigen met de groeifactor per 4 jaar;
  - het tegoed op 1-1-2000 vier keer vermenigvuldigen met de groeifactor per 5 jaar.

Bekijk Voorbeeld 3.
Gebruik de rekenregels voor machten om de uitdrukkingen als één macht te schrijven:
1. `(2^214 * 2^80)/((2^12)^24)`
2. `(1/3)^83 * (3^40)^2`

Verwerken

In een ondiep meer van 1000 km² begint riet te groeien. Op 1-1-2005 is de oppervlakte van het met riet begroeide deel 1 km².
Vanaf dat moment wordt de oppervlakte van het met riet begroeide deel gemeten.
In 2010 constateert men dat de oppervlakte van het met riet begroeide deel elk jaar twee keer zo groot is geworden. Ga ervan uit dat het riet zich in hetzelfde tempo blijft uitbreiden.
1. Hoeveel bedraagt de groeifactor per jaar?
2. Maak een tabel voor de met riet bedekte oppervlakte voor de eerste vijf jaar.
3. Hoe groot is de groeifactor per tien jaar?
4. Na hoeveel jaar is het hele meer begroeid met riet?

Schrijf als één macht en bereken:
1. `2^4 * 2^3`
2. `(2^3)^2 * 2^4 + 2^3 * 2^7`
3. `(2^512)/(2^509)`
4. `(2^53)^3 * (1/2)^100`

De concentratie van een bepaalde vervuilende stof in het water neemt langzaam af met een vast percentage van 13% per uur. Op `t=0` is de concentratie 150 mg per liter.
1. Hoeveel bedraagt de groeifactor per uur? Stel een formule op voor de concntratie `C` als functie van de tijd `t` in uren.
2. Na hoeveel uur is de concentratie gehalveerd?
3. Met hoeveel procent neemt de concentratie per dag af?

Schrijf als één macht:
1. `(3^214)/(3^211)`
2. `3^110 * (1/3)^109`
3. `((3^16)^10)/(3^100 * 3^60)`
4. `(3/4)^235 * (4/3)^236`

Iemand koopt voor € 5000,= aandelen. In de volgende maanden blijkt dat de waarde van de aandelen exponentieel afneemt. Na één maand zijn de aandelen € 600,= minder waard geworden.
1. Hoeveel procent is 600 van 5000?
2. Bereken de groeifactor van de waarde van de aandelen.
3. Maak een tabel met de waarde van de aandelen voor de eerste vijf maanden.
4. Met welk getal moet je de waarde na vijf maanden vermenigvuldigen om de waarde na tien maanden te krijgen? Bereken de waarde na tien maanden.
5. Hoeveel is de groeifactor per tien maanden? En per vijftien maanden?
6. Hoeveel maanden duurt het ongeveer voor de waarde van de aandelen is gehalveerd?

Testen

Iemand betaalt een huur van € 950,- (per maand). Er wordt een jaarlijkse huurverhoging verwacht van 4%.
1. Stel een formule op waarmee je voor volgende jaren de huur per maand kunt berekenen.
2. Maak een tabel waarmee je kunt uitzoeken hoe lang het duurt tot de huur meer dan € 1300,- per maand is geworden.
3. Hoe groot is de groeifactor van de maandelijkse huur per 4 jaar?
4. Bereken met behulp van de groeifactor per 4 jaar de groeifactor per 20 jaar.
5. Bereken het groeipercentage per 20 jaar.
6. Na hoeveel jaar is de huur per maand voor het eerst meer dan verdubbeld?

Schrijf als één macht: `(17^11 * 17^54)/((17^4)^21)`.

Een bepaalde soort vlinders wordt in een bepaald natuurgebied zijn voortbestaan bedreigd. In 2007 werden er nog 4600 exemplaren van geteld. In de volgende jaren blijkt dat de aantallen elk jaar met 12% afnemen.
1. Stel een formule op voor het aantal vlinders van die soort `N(t)`, waarin `t` de tijd in jaren na 2007 is.
2. Na hoeveel jaar is de het aantal vlinders minder dan 1000 geworden?
3. Bereken het groeipercentage per vijf jaar.
4. Met welk getal moet je het aantal vlinders na vijf jaar vermenigvuldigen om het aantal na tien jaar te krijgen? Bereken het aantal vlinders na tien jaar.
5. Bereken het groeipercentage per tien jaar.