Exponentiële groei

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Exponentiële verbanden > Exponentiële groei > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Exponentiële verbanden > Exponentiële groei > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk het verhaal van de bacteriegroei in de Uitleg.
   1. Wat versta je onder de 'groeifactor' per uur van het aantal bacteriën?
   2. Hoeveel procent bacteriën komt er elk uur bij?
   3. Hoeveel bacteriën heb je na 12 uur? En hoeveel heb je er een uur later?
   4. Hoeveel bacteriën heb je 3 uur later dan 12 uur na `t=0`?


2. De formule voor de bacteriegroei in de Uitleg is `B = 600 * 2^t`
   1. Breng deze formule in beeld op je grafische rekenmachine. Zorg er voor dat er minstens 24 uur bacteriegroei in beeld komt.
   2. Hoeveel bacteriën zijn er na 20 uur?
   3. Op welk tijdstip zijn er meer dan 60000 bacteriën?
   4. Op welk tijdstip is het aantal bacteriën dan weer verdubbeld (dus 120000 geworden)? Leg uit hoe je dat hebt berekend.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Exponentiële verbanden > Exponentiële groei > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 zie je hoe het aantal inwoners van D exponentieel groeit.
   Het aantal inwoners van A groeit volgens de formule `N = 110000 * 1,013^t` met `t` in jaren vanaf 2000.
   1. Waaraan zie je dat A een grotere stad is dan D?
   2. Waaraan zie je dat het aantal mensen in A langzamer groeit dan D?
   3. Met welke groeifactor neemt het aantal mensen in A jaarlijks toe? Wat is het jaarlijkse groeipercentage?
   4. Maak nu de grafieken van de groeiformules van de steden D en A in één figuur op je grafische rekenmachine. Zorg er voor dat het snijpunt van beide grafieken in beeld komt.
   5. Bepaal met je grafische rekenmachine het jaar waarin D groter wordt dan A als hun groei precies zo zal doorgaan. Hoeveel inwoners heeft D aan het einde van dat jaar?


4. Bekijk de tabel in Voorbeeld 2, waarbij sprake is van exponentiële afname.
   1. Controleer dat de groeifactor per jaar inderdaad telkens ongeveer 0,97 is.
   2. Welke formule vind je voor het aantal abonnementen `A(t)` als je `t=0` neemt in 2007?
   3. Laat zien dat de krant in 2022 inderdaad in de problemen raakt.


5. Iemand zet op 1-1-2000 op een bankrekening € 800,- tegen 6% rente. De rente wordt jaarlijks op de bankrekening bijgeschreven. Er wordt verder geen geld op de bankrekening gestort of geld van de bankrekening gehaald.
   Bekijk eventueel Voorbeeld 3.
   1. Wat is de groeifactor per jaar van het tegoed op de bankrekening?
   2. Hoeveel staat er op de bankrekening op 1-1-2005? Laat zien hoe je dat berekent.
   3. Welke formule geldt voor het spaartegoed `S(t)`, waarin `t` de tijd in jaren na 1-1-2000 is?
   4. Bereken het tegoed op 1-1-2020.


6. Neem de tabel over en vul in:
   
   

   procentuele toename per jaar	13	–6	0,3
   groeifactor per jaar				1,15	0,98	3,95	0,01

   
   


7. Van twee vogelsoorten die alleen op één bepaald eiland voorkomen neemt het aantal de laatste jaren af. Tellingen leverden dit resultaat op:
   
   

   jaartal	2004	2005	2006	2007	2008
   aantal vogels soort A	5200	4888	4594	4319	4060
   aantal vogels soort B	6400	6205	5998	5801	5598

   
   
   1. Leg uit dat het aantal vogels van soort A exponentieel afneemt. Hoeveel bedraagt de groeifactor per jaar?
   2. Hoeveel vogels van soort A zullen er in 2011 zijn als de afname zo door gaat?
   3. Het aantal vogels van soort B neemt ongeveer lineair af. Laat dat zien.
   4. In welk jaar zullen er van beide soorten vogels op zeker moment evenveel zijn als de groei zo door gaat?

Verwerken

8. De oppervlakte die door een snelgroeiende waterplant wordt bedekt neemt elke dag met 50% toe.
   1. Met welk getal moet je de oppervlakte vermenigvuldigen als je de oppervlakte wilt weten die de waterplant morgen zal bedekken?
   2. Neemt de oppervlakte van de waterplant in twee dagen met 100%toe? Of met een ander percentage? Leg uit.
   3. Is hier sprake van exponentiële groei? Leg uit.


9. Iemand koopt aandelen ter waarde van 4000 euro. De aandelen nemen gedurende de eerste vier jaar elk jaar 11% in waarde toe.
   1. Bereken de waarde van de aandelen na één jaar en na twee jaar.
   2. Hoeveel bedraagt de groeifactor van de waarde van de aandelen?
   3. Hoe kun je met behulp van de waarde na twee jaar de waarde na drie jaar berekenen?
   4. De waarde na vier jaar is € 6072,28. Hoe kun je hieruit met behulp van de groeifactor de waarde na drie jaar berekenen?
   5. In het zesde jaar stijgt de waarde van de aandelen van € 6740,23 naar € 7279,45. Met hoeveel procent is de waarde van de aandelen in het zesde jaar toegenomen? Wat is nu de groeifactor?


10. In het jaar 2000 zijn er in een natuurgebied 5000 herten. Uit tellingen is gebleken dat dit aantal met 4% per jaar daalt.
    1. Stel een formule op voor de 'groei' van het aantal herten vanaf het jaar 2000.
    2. Bereken het aantal herten in het jaar 2010.
    3. In welk jaar is het aantal herten voor het eerst gehalveerd?


11. Een kapitaal van € 10000,- wordt gedurende 10 jaar belegd in aandelen. In de tabel zie je de groei van het kapitaal in de eerste 6 jaar.
    
    

    tijd in jaren	0	1	2	3	4	5	6
    kapitaal in euro	10415	10850	11295	11760	12250	12750	13280

    
    Onder rendement wordt hier verstaan de procentuele toename van het belegde kapitaal per jaar.
    1. Maak duidelijk dat het kapitaal in de eerste 6 jaar bij benadering exponentieel toeneemt.
    2. Bereken voor deze periode het rendement (per jaar).
    3. Maak een tabel van een kapitaal van € 10000,- dat 10 jaar wordt belegd bij een rendement van 8% per jaar.
    4. Na hoeveel jaar is dit kapitaal verdubbeld?
    5. Iemand belegt een kapitaal van € 10000,- gedurende 10 jaar. Stel dat hij de eerste 5 jaar een rendement van 14% per jaar behaalt en de daarop volgende 5 jaar 4% per jaar. Bereken het kapitaal `K` na 5 jaar en na 10 jaar.
    6. Laat met een berekening zien of het de belegger meer oplevert in vergelijking met de vorige situatie als het rendement de eerste 5 jaar 4% is en de volgende 5 jaar 14%.


12. Twee scholen hebben te maken met teruglopende leerlingenaantallen:
    
    

    jaar (teldatum 1 sep.)	2005	2006	2007	2008	2009
    aantal leerlingen school 1	1050	998	948	900	855
    aantal leerlingen school 2	1050	1005	960	915	870

    
    
    1. Bij één van beide scholen neemt het leerlingenaantal jaarlijks met een vast percentage af. Bij welke school is dat en met welk percentage?
    2. Hoe verloopt de afname van het leerlingenaantal van de andere school?
    3. School 2 lijkt uiteindelijk meer leerlingen over te houden dan school 1. Is dat ook zo? Licht je antwoord toe.
    4. In deze situatie heeft het geen zin om naar kleinere tijdseenheden dan een jaar te kijken. Waarom niet?

Testen

13. In de tabel hieronder zie je de grootte van een spaartegoed op 1 januari in een aantal opeenvolgende jaren.
    
    

    jaar	2005	2006	2007	2008	2009	2010
    tegoed in €	1000,00	1040,00	1081,60	1124,86	1169,86	1216,65

    
    
    1. Bereken het verschil tussen de bedragen in 2005 en 2006. Hoe zou de tabel eruit zien als de groei na 2006 zich lineair zou voortzetten?
    2. Je kunt uit a concluderen dat de groei van het spaartegoed niet lineair is. Ga na dat het tegoed exponentieel groeit.
    3. Hoeveel bedraagt de groeifactor? En het groeipercentage?
    4. Hoe groot zal het tegoed zijn op 1 januari 2020?


14. Iemand betaalt op 1 januari 2002 een huur van € 300,- (per maand). Er wordt een jaarlijkse huurverhoging verwacht van 5,5%.
    1. Is hier sprake van exponentiële groei?
    2. Bereken de huur op 1 januari 2003 en op 1 januari 2004.
    3. Met hoeveel procent stijgt de huur per twee jaar toe?


15. Iemand koopt voor € 5000,- aandelen. In de volgende jaren blijkt dat de aandelen elk jaar 12% in waarde dalen.
    1. Stel een formule op voor de waarde van de aandelen `W(t)`, waarin `t` de tijd in jaren sinds de aankoop van de aandelen is.
    2. Na hoeveel jaar is de waarde van de aandelen minder dan € 1000,= geworden?