Totaalbeeld

Samenvatten

Je hebt nu alle theorie van "Lineaire verbanden" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan...
Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je er mee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting!

Begrippenlijst:

31: recht evenredig — evenredigheidsconstante — hellingsgetal
32: lineaire functie — hellingsgetal = richtingscoëfficiënt
33: lineair model
34: lineaire vergelijking — lineaire ongelijkheid

Activiteitenlijst:

31: een recht evenredig verband tussen twee variabelen herkennen
32: een lineaire functie herkennen — hellingsgetal en begingetal gebruik om de grafiek te tekenen — een lineasire functie opstellen vanuit een begingetal en een hellingsgetal
33: een lineaire functie opstellen vanuit twee gegeven punten
34: lineaire vergelijkingen en ongelijkheden systematisch oplossen

Achtergronden

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Lineaire verbanden > Totaalbeeld > Achtergronden

Testen

1. Twee hardlopers lopen 1000 m in een vrijwel constant tempo. Ton loopt met een snelheid van 15 km/h, Henk met een snelheid van 12 km/h. Henk begint 2 minuten eerder aan de 1000 m dan Ton.
   1. Hoe groot zijn hun snelheden in meter per minuut?
   2. Hoeveel m ligt Henk op Ton voor als Ton aan zijn 1000 m begint?
   3. Voor Ton geldt de formule `a = 250t`, waarin `t` de tijd en `a` de afgelegde afstand (vanaf de start van de 1000 m) is. Welke eenheden zijn er gebruikt? Is voor Ton `a` recht evenredig met `t`?
   4. Welke formule met dezelfde variabelen geldt dan voor Henk? Is voor Henk `a` recht evenredig met `t`?
   5. Breng beide grafieken in beeld. Wie is het eerst aan het einde van de 1000 m gekomen en hoeveel lag hij toen op de ander voor?


2. De huurprijs van een kopieerapparaat bestaat uit € 225,= per maand en € 0,06 per gemaakte kopie.
   1. Geef een formule voor de huurprijs `h` in euro per maand, afhankelijk van het aantal gemaakte kopieën `n`.
   2. Hoeveel kopieën zijn er gemaakt als de huur € 378,97 bedraagt?
   Een andere firma biedt een gelijkwaardig kopieerapparaat aan tegen de huurprijs van € 0,10 per gemaakte kopie, zonder daarbij een vast bedrag per maand te rekenen.
   3. Bij welk aantal gemaakte kopieën is deze tweede aanbieding voordeliger?


3. Los de volgende lineaire vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch op.
   1. `1/6 x + 5 = 1 1/2 - 1/3 x`
   2. `40 + 0,16a <= 36 + 0,18a`
   3. `(3x - 5)/4 + 2 > 1/8 x + 1 1/2`
   4. `25(x - 10) = 110 - 20x`


4. Iemand hangt verschillende gewichtjes aan een veer en meet de uitrekking. Ze vindt de volgende meetwaarden. `m` is de massa van de gewichten in gram, `u` is de uitrekking van de veer in cm.
   
   

   m	10	20	30	40	50	60	70	80
   u	4,8	10,3	15,1	19,7	25,0	29,8	35,2	40,1

   
   
   1. Zet de punten in een assenstelsel.Waaromis er sprake van een lineair verband (bij benadering)?
   2. Geef een formule die `u` uitdrukt in `m`.
   3. Als er 50 gram aan de veer hangt is de totale lengte `l` van de veer 35 cm. Geef een formule die `l` uitdrukt in `m`.
   Een tweede veer is zonder gewicht eraan 8 cm lang en met 10 gram eraan 15,5 cm lang.
   4. Geef een formule die de lengte van deze tweede veer uitdrukt in `m`.
   5. Er is een massa die ervoor zorgt dat de totale lengte van beide veren gelijk is. Bereken deze massa.


5. Een zwembad vraagt € 3,= toegang. Met een abonnement is de toegang € 1,25. Een abonnement kost € 17,50.
   Bereken algebraïsch vanaf welk aantal bezoeken het voordeliger is om een abonnement te kopen.
   


6. In de zeventiger jaren van de vorige eeuw bestonden er verschillende tarieven voor het gebruik van aardgas. (Voor het gemak zijn de bedragen omgerekend in euro). In een zekere plaats gold:
   • bij een jaarverbruik tot 600 m³: vastrecht € 21,= per jaar en daar bovenop € 0,13 per verbruikte m³;
   • bij een jaarverbruik vanaf 600 m³: vastrecht € 48,= per jaar en daar bovenop € 0,08 per verbruikte m³.
   1. Teken een grafiek van de jaarlijkse kosten `K` voor een gasverbruik a lopend van 0 tot 1200 m³.
   2. De grafiek van a valt in twee delen uiteen. Voor elk van die delen zijn de jaarlijkse kosten een lineaire functie van `a`, het aantal verbruikte m³. Geef van elk van die lineaire functies een formule.
   3. Een tuinder die aan de meterstand zag dat hij op een jaarverbruik van ongeveer 590 m³ uit zou komen, ging gas afbranden. Wat wordt daarmee bedoeld? Waarom deed hij dat?
   4. Vanaf welk jaarverbruik leverde toen het gas afbranden een besparing op?
   5. Welke maatregelen kon het gasbedrijf treffen om gas afbranden te voorkomen?

Toepassen

7. Afgelegde weg, snelheid en versnelling

   Bij een eenparige beweging is de snelheid constant. Bij een eenparig versnelde beweging is de versnelling constant. Lees meer in:

   www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Lineaire verbanden > Totaalbeeld > Toepassingen

   In Nederland geldt op sommige plaatsen een maximumsnelheid van 100 km/uur. Een automobilist rijdt omdat er verder vrijwel geen verkeer op de weg is toch 140 km/uur op zo'n weggedeelte. Een verdekt opgestelde motoragent ziet hem voorbij schieten en zet de achtervolging in. Neem `t=0` op het moment dat de motor op topsnelheid is. Dit is 16 seconden nadat de auto de motoragent passeert; de motor heeft dan 300 m afgelegd. Neem ook aan dat de auto met een constante snelheid rijdt en de motor een constante topsnelheid van 200 km/h heeft.
   1. Hoeveel m voorsprong heeft de auto op het moment dat de motor op topsnelheid is?
   2. Stel een formule op voor de afgelegde weg `a(t)` van de auto. Kies geschikte eenheden.
   3. Stel een formule op voor de afgelegde weg `m(t)` van de motor op topsnelheid.
   4. Hoeveel seconden nadat hij op topsnelheid rijdt heeft de motor de auto ingehaald?



8. Cijfers vaststellen

   Bij het bepalen van het cijfer van een toets wordt uitgegaan van een lineair verband tussen de score `s` en het cijfer `c`. Neem aan dat de maximale score 80 punten is. Bij een score van 80 punten hoort als cijfer een 10, bij een score van 0 punten hoort als cijfer een 1. De omslagscore is de score waarbij het cijfer 5,5 (dus net voldoende) is.
   1. Met welke formule kun je de score omzetten naar een cijfer?
   2. Hoeveel bedraagt de omslagscore?
   Als een toets zeer slecht wordt gemaakt, dan kun je als docent de cijfers wat ophogen door de omslagscore te veranderen. Bijvoorbeeld verlaag je de omslagscore met 5 punten. Nog steeds levert een score van 0 punten een 1 en een score van 80 punten een 10 op. De grafiek van `c` als functie van `s` bestaat dan uit twee lineaire gedeelten.
   3. Welke twee formules heb je nu nodig om het cijfer te berekenen?
   4. Welk cijfer krijgt iemand die zonder ophogen een 6 zou krijgen?
   Is een toets daarentegen erg gemakkelijk, dan kan de docent de cijfers naar beneden bijstellen door de omslagscore te verhogen. Stel dat een docent met zichzelf afspreekt dat hij achteraf de omslagscore met maximaal 5 punten zal verlagen of verhogen, afhankelijk van de resultaten van de toets.
   6. Je zou zonder bijstelling een 5,8 halen. Welk cijfer kan dit maximaal nog worden? En minimaal?

Examenopgaven

9. Schofthoogte

   Oudheidkundigen proberen informatie te krijgen over de voedselsituatie van vroegere bewoners van een nederzetting. Uit botjes in afvalputten blijkt welke dieren men vroeger at en soms ook hoeveel. Niet bekend is hoeveel voedsel een rund uit die tijd opleverde, maar daarover zou de grootte van het dier informatie kunnen geven. Als maat voor de grootte neemt men de schofthoogte. Meestal ontbreken er botten die nodig zijn om de schofthoogte te bepalen. Vaak treft men wel een middenvoetsbeentje (metacarpus) aan. Men heeft voor twee runderrassen, A en B, kunnen vaststellen dat er tussen de metacarpus en de schofthoogte een verband bestaat. Dat verband verschilt per ras. Onderstaande grafiek geeft het verband tussen de schofthoogte (`s`) en de lengte van de metacarpus (`m`) voor ras A.
   
   
   
   
   1. Stel een formule op, die bij deze grafiek past.
   Voor ras B geldt de formule: `s = 5m + 16` (`5 <= m <= 25`).
   2. Teken in de figuur de grafiek bij deze formule.
   3. Bereken in millimeters nauwkeurig bij welke waarde van `m` de schofthoogten van beide rassen gelijk zijn.
   In theorie zou bij opgegeven waarden van `m` en `s` van een dier vastgesteld kunnen worden of het een dier van ras A of van ras B betreft, met uitzondering van de situatie zoals bedoeld in c. In werkelijkheid is het verband tussen de lengte van de metacarpus en de schofthoogte niet zo precies als de formules aangeven.We nemen aan dat bij elke lengte van de metacarpus de schofthoogte kan variëren van 2 cm onder de aangegeven waarde tot 2 cm erboven.
   4. Bepaal met behulp van de grafieken bij welke lengten van de metacarpus er problemen kunnen optreden bij het vaststellen van het ras.
   Uit de schofthoogte kan bij benadering het levend gewicht van een rund worden afgeleid. Er blijkt een verband te bestaan dat nagenoeg lineair is. Gegevens over dit verband staan in onderstaande tabel.
   
   

   schofthoogte (cm)	levend gewicht ras A (kg)	levend gewicht ras B (kg)
   110	400	380
   120	470	435

   
   De lengte van een gevonden metacarpus is 21 cm. Het botje kan van een rund van ras A of van ras B zijn.
   5. Bereken voor beide mogelijkheden het levend gewicht.
   
   

   (bron: examen wiskunde A havo 1990, eerste tijdvak)




10. Veldkrekels

    Onderstaande tekst is ontleend aan het Brabants Dagblad van 28 mei 1997.

    De veldkrekel is een toonkunstenaar. Moeiteloos sjirpt hij een hoge C. Het tempo van de roepzang is afhankelijk van het weer. Bij fris weer laat de veldkrekel gemiddeld één sjirp per seconde horen, bij warm weer wel gemiddeld vijf,met alle variaties daartussen. Sterker, de veldkrekel kan eigenlijk wel als een thermometer gebruikt worden. De onderzoeker M. Duijm heeft daar eens een berekening voor uitgedokterd. Het rekenvoorschrift luidt: neem het gemiddelde aantal sjirpen per vijf seconden, tel er zeven bij op, en je weet de temperatuur in graden Celsius. Midas Dekkers evenwel hanteert een rekenvoorschrift waarbij je moet uitgaan van het gemiddeld aantal sjirpen per minuut. Je trekt er veertig van af, deelt de uitkomst door zeven en telt er tien bij op.

    Stel dat een krekel op een zeker moment gemiddeld 2,4 sjirpen per seconde maakt.Als we met de twee rekenvoorschriften de temperatuur op dat moment berekenen, vinden we twee heel verschillende uitkomsten.
    1. Hoeveel graden verschillen die uitkomsten? Licht je antwoord toe.
    2. Stel voor M. Duijm en voor Midas Dekkers de formule op die de temperatuur `t` (in °C) uitdrukt in het gemiddeld aantal sjirpen `n` per seconde.
    Voor het verschil dat bij a gevonden is, is een eenvoudige verklaring: niet alle krekels sjirpen hetzelfde. Het rekenvoorschrift van Duijm geldt voor de veldkrekel, terwijl Dekkers het heeft over de sneeuwboomkrekel. Bij alle soorten krekels sjirpen de mannetjes om wijfjes te lokken. De wijfjes herkennen hun eigen soort aan de sjirpsnelheid, dus aan het aantal sjirpen per seconde.
    3. Bij welke temperatuur kan het veldkrekelvrouwtje geen verschil horen tussen een veldkrekelmannetje en een sneeuwboomkrekelmannetje? Licht je antwoord toe door algebraïsch een bijpassende vergelijking op te lossen.
    
    

    (bron: examen wiskunde A havo 1999, tweede tijdvak, aangepast)