Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

Inleiding

Stel je hebt een loodgieter nodig. Bedrijf A rekent € 25,00 per uur en € 30,00 voorrijkosten. Bedrijf B rekent € 27,50 per uur en € 18,00 voorrijkosten. (Materiaalkosten zijn bij beide even hoog.)
De klus lijkt minstens een dagdeel te duren, welke van beide bedrijven is dan het voordeligst?
Om te berekenen vanaf hoeveel uur bedrijf A goedkoper is dan B kun je een lineaire ongelijkheid oplossen.

Je leert nu:

lineaire vergelijkingen en ongelijkheden systematisch oplossen.

Je kunt al:

grafieken tekenen bij (lineaire) functies;
werken met lineaire verbanden en de bijbehorende hellingsgetallen (richtingscoëfficiënten);
formules opstellen bij lineaire verbanden.

Verkennen

Bekijk het probleem van de concurrerende loodgietersbedrijven uit de Inleiding.

> Welke ongelijkheid hoort bij dit probleem?
> Los de ongelijkheid op met de grafische rekenmachine.
> Kan het ook zonder grafische rekenmachine? Hoe dan?

Uitleg

Stel je hebt een loodgieter nodig. Bedrijf A rekent € 25,00 per uur en € 30,00 voorrijkosten. Bedrijf B rekent € 27,50 per uur en € 18,00 voorrijkosten. (Materiaalkosten zijn bij beide even hoog.)
Je wilt berekenen vanaf hoeveel uur bedrijf A goedkoper is dan B.
Dat kan door (lineaire) formules te maken waarbij de kosten K (in euro) afhangen van het aantal gewerkte uren a:

Bedrijf A: K_A = 30 + 25a
Bedrijf B: K_B = 18 + 27,5a

Je wilt nu de ongelijkheid K_A < K_B oplossen. Dus: 30 + 25a < 18 + 27,5a.
Je lost dan eerst de vergelijking 30 + 25a = 18 + 27,5a op met de balansmethode:

30 + 25a = 18 + 27,5a    _{beide zijden –18}

12 + 25a = 27,5a            _{beide zijden –25a}

          12 = 2,5a              _{beide zijden /2,5}

            a = 4,8

M.b.v. grafieken op de GR vind je: A is goedkoper bij meer dan 4,8 gewerkte uren.

‡

Opgaven

Bekijk in de Uitleg hoe het oplossen van een ongelijkheid in zijn werk gaat. Je werkt in drie stappen:
1. Los eerst de vergelijking `30 + 25a = 18 + 27,5a` op. Doe dit zelf nog eens algebraïsch zonder naar de uitleg te kijken.
2. Maak vervolgens de grafieken van `K_text(A)` en `K_text(B)` op de grafische rekenmachine. Kies geschikte vensterinstellingen.
3. Lees de oplossing van de ongelijkheid uit de grafieken af.

Los de ongelijkheid `600 - 0,5x <= 400 + 1,5x` op.
Werk op dezelfde manier als in de voorgaande opgave en de uitleg.

Theorie

Een lineaire vergelijking ontstaat als je van twee lineaire functies y₁ = ax + b en y₂ = cx + d wilt berekenen waar ze dezelfde uitkomst hebben: ax + b = cx + d.

Zo'n vergelijking kun je oplossen met de balansmethode.
Maar je kunt ook je grafische rekenmachine gebruiken en daar de grafieken van beide lineaire functies mee tekenen. In het snijpunt van die twee grafieken hebben beide functies dezelfde uitkomst.

Als je een ongelijkheid als y₁ < y₂ moet oplossen, los je eerst de bijbehorende vergelijking y₁ = y₂ op.
Daarna gebruik je de grafieken van y₁ en y₂ om de oplossing van de ongelijkheid af te lezen.

‡

Voorbeeld 1

Een fabriek produceert een artikel dat voor € 12,50 per stuk wordt verkocht. Het maken van één exemplaar kost € 7,- en de vaste maandelijkse productiekosten bedragen € 120.000,-. Voor de bedrijfsleiding is nu deze vraag van belang:
Hoeveel exemplaren van dit artikel moeten er maandelijks worden verkocht om winst te maken?

Antwoord

De inkomsten (R in euro) en voor de kosten (TK in euro) hangen beide af van het aantal verkochte exemplaren q. Je kunt deze formules opstellen:

inkomsten: R = 12,50q
kosten: TK = 120.000 + 7q

Maak hierbij grafieken op je GR. En los de vergelijking R = TK op:

12,50q = 120.000 + 7q    _{beide zijden –7q}

  5,50q = 120.000            _{beide zijden / 5,50}

         q = 21.818,1818...

Er wordt winst gemaakt bij een verkoop van 21.819 of meer.

‡

Voorbeeld 2

Los exact op: `y_1 >= y_2`.

Antwoord

Afrondingen (zoals je krijgt als je de GR gebruikt) zijn nu niet toegestaan, je wilt een exact antwoord en dus werk je algebraïsch. Maak eerst formules met behulp van de punten die op elke lijn liggen.

`y_1 = -3/4 x + 3`
`y_2 = 1/3 x + 1`

Eerst de vergelijking `-3/4 x + 3 = 1/3 x + 1` oplossen: `x = 24/13`.
De oplossing volgt uit de grafiek: `x <= 24/13`.

‡

Voorbeeld 3

Los exact op: `(15 - 2x)/3 < x/5 + 10`.

Antwoord

Je kunt zo'n lineaire ongelijkheid volledig algebraïsch oplossen zonder GR te gebruiken. Dat gaat zo:

     `(15 - 2x)/3 < x/5 + 10`          _{beide zijden × 15}

75 – 10x < 3x + 150    _{beide zijden –75}

      –10x < 3x + 75      _{beide zijden –3x}

      –13x < 75               _{beide zijden / –13}

            `x > -75/13`.

Merk op dat bij deling door een negatief getal het kleiner-teken verandert in een groter-teken!

‡

Opgaven

Twee cilindervormige kaarsen branden gelijkmatig op: de lengte `L` (in cm) van elke kaars is een lineaire functie van de brandtijd `t` (in uren). Op `t=0` worden beide kaarsen aangestoken. Kaars I heeft op dat moment een lengte van 30 cm en brandt met 1,5 cm per uur op. Kaars II heeft dan een lengte van 22 cm en brandt met 0,5 cm per uur op.
1. Stel voor elk van deze kaarsen een formule op voor `L` als functie van `t`.
2. Breng de bijpassende grafieken in beeld met je grafische rekenmachine.
3. Bepaal met de grafische rekenmachine vanaf welk tijdstip kaars II langer is dan kaars I.
4. In Voorbeeld 1 zie je hoe je deze ongelijkheid algebraïsch kunt oplossen. Voer die algebraïsche oplossing stap voor stap uit.

In Voorbeeld 2 wordt de ongelijkheid `y_1 >= y_2` algebraïsch opgelost.
1. Los eerst de vergelijking `y_1 = y_2` algebraïsch op.
2. Leg uit hoe je de oplossing van de ongelijkheid uit de grafieken afleest.

In Voorbeeld 3 zie je hoe een lineaire ongelijkheid algebraïsch wordt opgelost.
Los zelf de volgende lineaire ongelijkheden op die manier op.
1. `25g - 150 < 18g + 60`
2. `0,8x + 15200 >= 2x + 8400`
3. `1/3 x - 25 > 16 + 1/2 x`
4. `(2g - 8)/4 + 4 >= 6`

Verwerken

Een leerlingenvereniging heeft een filmavond georganiseerd voor alle leerlingen van de school. Voor de filmavond heeft de leerlingenvereniging € 400,= uitgegeven. Om de gemaakte kosten te betalen, vragen ze € 2,50 voor een toegangskaartje. Noem de gemaakte winst `W` en het aantal leerlingen dat komt kijken `l`.
1. Geef de formule voor `W` afhankelijk van `l`.
2. Hoeveel kaartjes moet de leerlingenvereniging verkopen om geen winst en geen verlies te draaien?
3. Hoeveel kaartjes zijn er verkocht als de winst groter is dan € 1000,=?

Bekijk de figuur. Los op: `p <= q`.

Twee personen willen vanaf het station naar huis gebracht worden met de taxi. Ze hebben de keuze tussen de treintaxi en de gewone taxi. De treintaxi kost € 3,= per persoon, de gewone taxi rekent € 2,25 per rit en € 0,75 per gereden minuut.
1. Geef een formule voor de kosten van een gewone taxi, afhankelijk van het aantal minuten `m` dat de rit duurt.
2. Bepaal bij welk aantal minuten het voordeliger wordt om een treintaxi te nemen.
3. De taxi's rijden door de stad gemiddeld 60 kilometer per uur. De twee personen wonen zes kilometer van het station. Welk type taxi raad je deze personen aan? Licht je antwoord toe met een berekening.

Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch op:
1. `55 - 6k = 4k - 25`
2. `12 - 4x >= 36 + 2x`
3. `25 - 1 2/3 t > 30 - 3t`
4. `1200 + 0,08a >= 1045 + 0,11a`
5. `(6 - 2x)/5 = (4 - x)/4`
6. `200 - (80 - x) = 4(x + 15)`

Een fabriek produceert een artikel dat voor € 10,= wordt verkocht. Het maken van één exemplaar kost € 6,50 en de vaste kosten (voor het onderhoud van de fabriek, de machines, de lonen enzovoort) zijn € 83000,=. Ga er van uit dat elk geproduceerde exemplaar ook wordt verkocht.
1. Stel formules op voor de totale opbrengst `TO` en de totale kosten `TK` als functie van het geproduceerde aantal `q`.
2. De waarde van `q` waarbij opbrengst en kosten gelijk zijn heet het "break-even-point". Bepaal met behulp van de grafische rekenmachine dit "break-even-point."
3. Bereken dit punt ook algebraïsch.
4. Bij welke waarden van `q` wordt er winst gemaakt?

Een aardewerkfabrikant verkoopt vazen voor € 5,= per stuk. Bij het maken van de vazen rekent hij per dag aan vaste kosten € 1600,= en per vaas een bedrag van € 3,=. Neem aan dat alle gemaakte vazen verkocht worden.
1. Geef de formule voor de kosten `K` in euro afhankelijk van het aantal geproduceerde vazen `v`.
2. Geef de formule van de opbrengst `O` in euro afhankelijk van het aantal verkochte vazen `v`.
3. Vanaf welk aantal verkochte vazen maakt de fabrikant winst? (Laat duidelijk zien welke methode je hierbij gebruikt!)
4. Bij welke dagproductie is de dagwinst € 2000,=?

Testen

In deze figuur staan twee grafieken van lineaire functies `h_1` en `h_2`.
Los op: `h_1 <= h_2`.

Een autoverhuurbedrijf verhuurt een Toyota voor € 75,= per week. De benzinekosten worden geschat op 9 cent per kilometer. Het bedrijf verhuurt ook een Renault voor € 100,= per week. De benzinekosten van de Renault zijn ongeveer 6,5 cent per kilometer.
1. Je huurt de Toyota voor een week en je hebt € 125,=. Hoeveel kilometer kun je dan rijden? Beantwoord dezelfde vraag voor de Renault.
2. Geef formules voor de kosten per week van de Toyota en de Renault, afhankelijk van het aantal gereden kilometers.
3. Teken met de grafische rekenmachine de grafieken voor de kosten per week van de Toyota en de Renault. Schrijf op welke vensterinstellingen je gebruikt.
4. Bereken zowel algebraïsch als met grafische rekenmachine vanaf welk aantal kilometers de Renault goedkoper is.

Een bedrijf produceert pennen. De productiekosten zijn een kwartje per pen, de vaste kosten € 100,= per dag. De pennen worden verkocht voor € 1,50. Vanaf welk aantal verkochte pennen per dag maakt het bedrijf winst?