Lineaire modellen

Inleiding

Het komt regelmatig voor dat onderzoekers op grond van de gevonden resultaten een lineair verband tussen twee variabelen veronderstellen. Dat is bijvoorbeeld het geval als de meetpunten bij een verband tussen twee variabelen (vrijwel) op een rechte lijn liggen.
De kunst is dan om op grond van de meetgegevens een goede lineaire functie als model op te stellen. Hoe dat in zijn werk gaat wordt in dit onderdeel besproken.

Je leert nu:

• bij een lineair verband dat is gegeven door een aantal meetpunten een passende formule opstellen.

Je kunt al:

• grafieken tekenen bij (lineaire) functies;
• werken met lineaire verbanden en de bijbehorende hellingsgetallen (richtingscoëfficiënten).

Verkennen

De bevolking van een grote stad is de laatste jaren gestaag gegroeid. In de tabel vind je enkele gegevens:

> Maak bij deze tabel een grafiek.
> Je kunt een rechte lijn trekken die het verloop van de bevolkingsgroei van deze stad redelijk benaderd. Doe dat en probeer met behulp daarvan het aantal inwoners in 2010 en 2020 te voorspellen.

Uitleg

Als je bij de tabel van de bevolking van een grote stad een grafiek tekent, lijken de meetpunten ongeveer op een rechte lijn te liggen. Hoewel de groei niet precies lineair is, kun je hem goed benaderen door een lineair model. Je tekent dan een rechte lijn die zo goed mogelijk door de meetpunten gaat. Kies eerst een paar variabelen: N is het aantal inwoners (× 100.000) en t is de tijd in jaren vanaf 1950, dus t = 0 in 1950.

Een lijn die goed het verloop van de meetpunten beschrijft gaat door (20;5,3) en (50;9,8). (Ga dat zelf na door de punten te tekenen.)
Om een formule bij deze lijn op te stellen, zoek je eerst het hellingsgetal.
In 50 – 20 = 30 jaar tijd neemt N toe met 9,8 – 5,3 = 4,5.
Per jaar is dat een toename van `(4,5)/30 = 0,15`.
Dit is het hellingsgetal van de rechte lijn. De bijbehorende formule is dus N = 0,15t + b.
Om b te bepalen gebruik je dat de grafiek door (20;5,3) gaat, dus: 5,3 = 0,15 · 20 + b.
Dit betekent dat b = 2,3.
Het lineaire model heeft daarom als formule N = 0,15t + 2,3.

Hiermee kun je voorspellen hoe groot het aantal inwoners in 2010 en 2020 zal zijn.

‡

Opgaven

1. Bekijk het lineaire model dat in de Uitleg wordt opgesteld voor de bevolking van een grote stad.
   1. Ga na, dat door de meetpunten inderdaad ongeveer een rechte lijn door `(20;5,3)` en `(50;9,8)` gaat.
   2. Controleer of de gevonden formule bij de overige meetpunten ongeveer de juiste waarden oplevert.
   3. Voorspel het aantal inwoners van deze stad in 2010 en 2020.


2. Een cilindervormige kaars is 1,5 uur na het aansteken 25 cm lang en 4 uur na het aansteken nog 20 cm lang. Voor deze kaars kun je aannemen dat de lengte `L` (in cm) een lineaire functie van de brandtijd `t` (in uren) is.
   1. Bereken eerst het hellingsgetal van die lineaire functie. Welke betekenis heeft dit getal in de praktijk?
   2. Stel vervolgens een formule voor `L` op.
   3. Bereken met behulp van die formule hoeveel uur deze kaars volledig is opgebrand.

Theorie

Soms wordt het verband tussen y en x gegeven door een tabel met meetpunten. Liggen die meetpunten (ongeveer) op een rechte lijn, dan kun je hierbij een lineair model opstellen. En daarbij hoort een lineaire functie van de vorm y = ax + b.

Gaat de rechte lijn door (10,210) en (30,300), dan bepaal je als volgt de lineaire formule:

• x neemt toe met 30 – 10 = 20;
• y neemt toe met 300 – 210 = 90;
• als x met 1 toeneemt, neemt y met `90/20 = 4,5` toe;
• het hellingsgetal (de richtingscoëfficiënt) van de lijn is 4,5;
• de gevraagde formule is y = 4,5x + b;
• (10,210) moet op de lijn liggen, dus 210 = 4,5 · 10 + b, dus b = 165.

De rechte lijn heeft als formule: y = 4,5x + 165.

‡

Voorbeeld 1

Hier zie je in een assenstelsel twee punten A en B getekend.
Tussen x en y bestaat een lineair verband.
Stel een formule op voor dit verband.

Antwoord

Lees af: A = (1,2) en B = (2,5;3).
Het gevraagde verband heeft de vorm y = ax + b. Door in de applet de waarden van a en b aan te passen kun je de formule maken.

Zo bereken je a en b:

• `a = (3 - 2)/(2,5 - 1) = 2/3`
• De formule wordt dan `y = 2/3 x + b`.
• A(1,2) invullen geeft: `2 = 2/3 * 1 + b` en dus `b = 1 1/3`.

De gevraagde formule is `y = 2/3 x + 1 1/3`.

‡

Voorbeeld 2

Van 22 scholieren in een 4 havo klas zijn lengte en gewicht gemeten en in Excel ingevoerd. Excel kan daar een zogenaamde trendlijn doorheen tekenen. Deze trendlijn geeft dan een verband tussen lengte L (in cm) en gewicht G (in kg).
Hier is gekozen voor een lineair verband. Stel daarbij een passende formule op.

Antwoord

De formule krijgt de vorm: G = a · L + b.
De lijn gaat ongeveer door (160,50) en (190,67).

• `a = (67 - 50)/(190 - 160) ~~ 0,57`.
• Dus krijg je G = 0,57L + b.
• Punt (160,50) invullen geeft 50 = 0,57 · 160 + b, dus b ≈ –41,2.

De gevraagde formule is G = 0,57L – 41,2.

‡

Voorbeeld 3

Scholen krijgen geld van de overheid. Hoeveel hangt af van het aantal leerlingen.
Hier zie je het aantal leerlingen van een school in de loop van een aantal jaren. Alle tellingen vonden plaats op 1 oktober.

jaartal	2003	2004	2005	2006
aantal leerlingen	1320	1462	1526	1442

Bepaal door extrapoleren hoe het leerlingenaantal hierna zal verlopen.

Antwoord

De veranderingen zijn: +142 in 2004, +64 in 2005 en –84 in 2006.
En nu moet je een keuze maken:

• Een sombere voorspelling: het laatste jaar waren er 84 leerlingen minder en die terugloop zal zo blijven doorgaan. Dat betekent dat het aantal leerlingen a na 2006 kan worden voorspeld door: a = 1442 – 84 · t. (t is het aantal jaren na 2006)
• Een minder sombere voorspelling: de laatste drie jaren kwamen er gemiddeld (142 + 64 – 84)/3 = 40 leerlingen bij. Het aantal leerlingen a na 2006 kan worden voorspeld door: a = 1442 + 40 · t. (t is het aantal jaren na 2006)

Beide voorspellingen gaan uit van een lineair verband. Daarom heet dit lineair extrapoleren. Het werkelijke verloop van het aantal leerlingen zal er wel ergens tussen in liggen...

‡

Opgaven

3. Bekijk in Voorbeeld 1 hoe je een formule opstelt bij een lineair verband vanuit twee gegeven punten.
   Bij een lineair verband hoort een grafiek door de punten `(-3, 2)` en `(17, 10)`. Stel een formule voor dit lineaire verband op.
   


4. Je ziet hier twee lijnen `l` en `m`. Het zijn grafieken bij een lineair verband.
   Stel bij elk van deze lijnen een passende formule op.
   


5. In Voorbeeld 2 zie je hoe bij een verzameling meetpunten een lineair model wordt opgesteld door een zo goed mogelijk passende lijn te trekken en twee punten op die lijn af te lezen uit de figuur.
   1. Stel dat je afleest dat de rechte lijn gaat door `(170,56)` en `(195,70)`. Welke formule past dan bij de lijn?
   2. Bepaal met de formule die je bij a hebt gevonden hoe zwaar een scholier van 1,60 m uit deze groep zou moeten zijn.


6. In Voorbeeld 3 wordt beschreven hoe je door lineair extrapoleren leerlingenaantallen van een school voorspelt. Bekijk de volgende tabel:
   
   

   q	10	20	30	40	50	60	70	80
   p	22,6	41,3	64,7	78,8	94,8	121,3	138,5	166,2

   
   
   1. De waarde van `p` voor `q=15` kun je vaststellen door lineair interpoleren. Je gaat dan uit van een lineair verband tussen `p` en `q` waarvan de grafiek gaat door `(10;22,6)` en `(20,41,3)`. Stel een formule op voor dat lineaire verband en bereken de waarde van `p` voor `q=15`.
   2. Bereken op dezelfde manier de waarde van `p` voor `q=42` door lineair interpoleren.
   3. Bereken de waarde van `p` voor `q=84` door lineair extrapoleren.

Verwerken

7. In dit assenstelsel staan vier grafieken van lineaire functies. Stel bij elk van deze functies het functievoorschrift op.
   
   
   
   


8. Er bestaat een verband tussen het aantal ademhalingen `A` dat een mens per minuut maakt en de polsslag `P` in slagen per minuut. Een arts onderzoekt een groepje van vijftien mensen en krijgt de volgende meetwaarden:
   
   

   A	16	16	19	20	20	23	24	26	27	28	30	34	36	41	44
   P	57	59	66	68	71	70	72	84	82	80	91	94	105	116	120

   
   
   1. Zet de gegevens uit de tabel in een grafiek. Zet `A` langs de horizontale as.
   2. Denk je dat er een lineair verband bestaat tussen A en P? Licht je antwoord toe.
   3. Trek een zo goed mogelijke rechte lijn door de getekende punten. Wat versta je in dit geval onder 'zo goed mogelijk'?
   4. Stel een formule op die bij de getekende lijn past.
   5. Bereken met behulp van deze formule het aantal polsslagen bij alle waarden van `A` uit de tabel. Wijken deze waarden veel af van de gemeten waarden?
   6. Bereken met behulp van je formule het aantal polsslagen van iemand met 32 ademhalingen per minuut.
   7. Het aantal polsslagen uit f had je ook kunnen benaderen door het gemiddelde van 91 en 94 te nemen. Waarom? Lijkt deze waarde op de waarde die je bij f berekend hebt?


9. Een zuiver cilindervormige kaars is aan het opbranden. De kaarslengte `L` (in cm) is een lineaire functie van de brandtijd `t` (in uren). Na 2 uur branden is de kaars 12 cm lang, na 5 uur branden heeft hij nog een lengte van 6 cm.
   Stel een formule op voor `L` als functie van `t`.
   


10. Voor gassen geldt de wet van Gay-Lussac. Het volume `V` (in m³) van een bepaalde hoeveelheid gas bij een bepaalde druk hangt af van de temperatuur `t` (in °C). Er geldt:
    `(V(t))/(t + 273) = (V(0))/273`
    waain `-273`°C het absolute nulpunt is en `V(0)` het volume bij `0`°C is.
    1. Herschrijf deze formule tot: `V(t) = V(0) * (1 + 1/273 t)`.
    2. Leg uit dat er sprake is van een lineair model. Welke aanname moet je doen wil dat model geldig zijn? Welk domein moet je kiezen?
    3. Neem `V(0) = 1` m³ en breng de bijbehorende grafiek in beeld. Schrijf de geschikte vensterinstellingen op.
    4. Welk volume heeft dit gas bij kamertemperatuur?
    5. Bij welke temperatuur is het volume 1,5 keer zo groot geworden?


11. Bij een éénparige beweging beweegt een voorwerp met een constante snelheid langs een rechte baan. In de natuurkunde wordt dat aangegeven met de formule:
    `s(t) = s(0) + v * t`
    waarin `s(t)` de afgelegde weg (in m) na `t` seconden is.
    1. Wat stelt `s(0)` voor? Wat stelt `v` voor?
    2. Neem `s(0) = 0` en `v = 20` m/s voor een bepaald voorwerp. Breng de bijbehorende grafiek van `s(t)` in beeld.
    3. Een tweede voorwerp heeft 400 m voorsprong en beweegt langs dezelfde baan met een snelheid van 15 m/s. Geef de formule die bij de beweging van dit voorwerp past en breng de bijbehorende grafiek in beeld.
    4. Bereken op welk tijdstip het eerste voorwerp het tweede heeft ingehaald.


12. Een onderzoeker wil weten of er verband bestaat tussen de lengte L (in cm) van zalmen en het aantal eitjes N dat ze leggen. Hij vindt de volgende gegevens:
    
    

    L	52	58	66	68	73	74	78	90
    N	5620	7410	9805	10390	11890	12200	13380	17010

    
    
    1. Onderzoek of er ongeveer een lineair verband bestaat tussen `L` en `N`. Stel in dat geval een formule op voor `N` als functie van `L`.
    2. Geef een zo goed mogelijke schatting van het aantal eitjes dat een zalm van 85 cm lengte legt.
    3. Een zalm legt 4500 eitjes. Hoe lang zal deze zalm ongeveer zijn?
    4. Iemand berekent door lineaire extrapolatie het aantal eitjes dat een zalm van 120 cm lengte legt. Denk je dat dit een realistische schatting oplevert? Licht je antwoord toe.

Testen

13. In deze figuur staan twee lijnen `l` en `m`. Het zijn grafieken van lineaire functies. Stel bij elk van deze functies een formule op.
    


14. De overheid is er door allerlei maatregelen in geslaagd het aantal verkeersdoden tussen 1970 en 1990 terug te dringen. De cijfers staan in de tabel:
    
    

    jaar	1970	1975	1980	1985	1990
    aantal doden	3516	3005	2521	1997	1488

    
    
    1. Laat zien dat het aantal verkeersdoden in deze periode (ongeveer) lineair afneemt.
    2. Schat met behulp van lineair interpoleren het aantal verkeersdoden in 1982.
    3. Geef een formule voor het verband tussen het aantal doden `N` en de tijd `t` (in jaren) voor deze gehele periode. Neem `t = 0` in 1970.
    4. Bepaal door lineaire extrapolatie het aantal verkeersdoden in 2000. Waarom is deze extrapolatie riskant?


15. De uitzetting van een metalen staaf verloopt lineair met de temperatuur `T` als deze gelijkmatig wordt verhit. In de natuurkunde wordt daarvoor de formule:
    `l(T) = l(0) * (1 + alpha · T)`
    gebruikt, waarin `l(T)` de lengte (in m) van de staaf na het verhitten tot `T`°C is. De constante `alpha` heet de lineaire uitzettingscoëfficiënt.
    1. Wat stelt `l(0)` voor?
    2. Voor ijzer geldt: `alpha = 9 * 10^(-6)`.
       Ga uit van een ijzeren staaf met `l(0) = 0,5` m.
       Hoe lang is deze staaf op kamertemperatuur (20°C)?
       Tot hoeveel graden Celsius moet je hem verhitten om de staaf 1 mm langer dan `l(0)` te laten worden?
    3. Voor koper geldt: `alpha = 1,7 * 10^(-5)`.
       Een staaf koper van 50 cm bij 20°C wordt verhit tot 100°C. Bereken de lengte van deze staaf bij 100°C.