Recht evenredig

Inleiding

Als je met een constante snelheid fietst dan is de afgelegde afstand recht evenredig met de tijd die je onderweg bent. Als je twee keer zo lang fietst, leg je ook een twee keer zo grote afstand af.
Als het maken van een kopie 10 cent kost, dan kost het maken van 5 kopieën 5 keer 10 cent, het maken van 20 kopieën 20 keer 10 cent, etc. De kosten zijn recht evenredig met het aantal kopieën dat je maakt.

Je leert nu:

Je kunt al:

Verkennen

In welke van de volgende gevallen is het verband tussen beide variabelen van recht evenredig?
Probeer er steeds een mogelijke formule bij te verzinnen.

> Je telefoonkosten afhankelijk van je belminuten bij een prepaid abonnement.
> De omtrek van een cirkel afhankelijk van de diameter.
> De lengte van het stuk kaars dat is opgebrand afhankelijk van de brandtijd bij een zuiver cilindervormige kaars.
> De lengte van de stuk kaars afhankelijk van de brandtijd bij een zuiver cilindervormige kaars.
> De temperatuur van het water afhankelijk van de diepte onder water.
> Het bedrag wat je betaalt voor het kopen van dollars met euro's.

Uitleg

Een winkelier koopt een bepaald artikel in voor € 7,00 per stuk en verkoopt het voor € 12,50 per stuk.

De opbrengst TO (in euro) is dan afhankelijk van het aantal q dat hij verkoopt.
Als hij twee keer zoveel van die artikelen verkoopt, krijgt hij ook twee keer zoveel geld binnen.
Er geldt: TO = 12,50 · q.

Hierbij hoort een grafiek die door (0,0) gaat: als er niets wordt verkocht is er ook geen opbrengst.
Verder gaat de grafiek door (500,6250) en (1000,12500).
Het is een rechte lijn door de oorsprong van het assenstelsel.

Met de kosten staat het heel anders. Daar moet de winkelier ook rekening houden met bijvoorbeeld transportkosten, opslagkosten, kosten voor artikelen die hij niet verkoopt, e.d.
Dus de kosten zijn niet recht evenredig met q.

‡

Opgaven

  1. Bekijk de Uitleg.
    De prijs van benzine (Euro loodvrij) voor een auto is op zeker moment € 1,45 per liter.
    1. Is het bedrag dat je bij de benzinepomp betaalt voor deze soort benzine recht evenredig met het aantal liter dat je tankt?
    2. Welke formule geldt voor de benzinekosten `B` afhankelijk van het aantal getankte liter `a`?
    3. Stel dat je gemiddeld op de snelweg 1 op 15 kunt rijden. Dit betekent dat je met 1 L benzine 15 km rijdt gemiddeld. Zijn in dit geval de benzinekosten ook recht evenredig met het aantal gereden km `k`?
    4. Welke formule geldt voor `B` als functie van `k`?
    5. Zijn de totale kosten per jaar voor een auto recht evenredig met het aantal gereden km? Geef een toelichting.

Theorie

Je zegt dat de variabele y recht evenredig is met de variabele x als een verdubbeling van x ook altijd een verdubbeling van y betekent.
Hierbij hoort een formule van de vorm y = a · x.
De grafiek bij een recht evenredig verband is een rechte lijn door (0,0).

Hier zie je hoe a de steilheid van de grafiek bepaalt.

‡

Voorbeeld 1

Een fietser rijdt met een vrijwel constante snelheid op een rechte polderweg van A naar B.
Op tijdstip t = 0 startte hij bij A, en 12 minuten en 26 seconden later heeft hij precies 5 km afgelegd.
Met hoeveel km/uur fietst hij? Geef een formule voor de afgelegde afstand a vanaf A in km afhankelijk van de tijd t in uren.

Antwoord

Hij legt 5 km in 746 seconden af, dat is `5/746` km/seconde.
In een uur legt hij daarom `3600 * 5/746 ~~ 24,129` km af.
Hij fietst met ongeveer 24,1 km/uur.

De bijbehorende formule is a = 24,1 · t, want bij een constante snelheid is de afgelegde afstand recht evenredig met de tijd.

‡

Voorbeeld 2

Van oudsher bestaan er naast de temperatuurschaal van Celsius die we meestal gebruiken nog andere temperatuurschalen. In sommige landen worden die nog steeds gebruikt:

Laat zien dat het aantal graden Fahrenheit F niet recht evenredig is met het aantal graden Celsius C, maar het aantal graden Réamur wel.

Antwoord

Voor het omrekenen van °C naar °F kun je uit de gegevens de formule F = 1,8C + 32 afleiden. De grafiek bij deze formule gaat niet door (0,0) maar door (0,32). En daarom is F niet recht evenredig met C.

Voor het omrekenen van °C naar °R kun je uit de gegevens de formule R = 0,8C afleiden. De grafiek bij deze formule gaat wel door (0,0). En daarom is R recht evenredig met C.

Bekijk ook eens hoe dit zit met de temperatuurschaal van Kelvin.

‡

Opgaven

  1. Bekijk Voorbeeld 1.
    Een auto rijdt met een constante snelheid van 120 km/uur over de snelweg van A naar B. Op `t=0` is hij in A. Zijn afgelegde afstand ten opzichte van A is `a` km.
    1. Geef een formule voor `a` als functie van `t` (in uren).
    2. Is `a` recht evenredig met `t`? Wat betekent dit voor de grafiek van `a`? En wat is de evenredigheidsconstante?
    3. Hoe ziet de formule voor `a` er uit als `a` in meter en `t` in seconden wordt gemeten? Is `a` in dit geval recht evenredig met `t`? En wat is dan de evenredigheidsconstante?
    4. Hoort bij een 2 keer zo grote waarde van `t` ook een 2 keer zo grote waarde van `a`?

  2. Een auto rijdt met een constante snelheid van 120 km/uur over de snelweg van A naar B. B ligt 60 km van A af. Op `t=0` is hij in A. Zijn afgelegde afstand ten opzichte van B is `b` km.
    1. Geef een formule voor `b` als functie van `t` (in uren).
    2. Is `b` recht evenredig met `t`? Wat betekent dit voor de grafiek van `b`?
    3. Hoe ziet de formule voor `b` er uit als `b` in meter en `t` in seconden wordt gemeten?
    4. Hoort bij een 2 keer zo grote waarde van `t` ook een 2 keer zo grote waarde van `b`?

  3. Bestudeer Voorbeeld 2.
    1. Licht toe hoe je aan de formule `F = 1,8C + 32` komt.
    2. Als `C` twee keer zo groot wordt, geldt dit dan ook voor `F`?
    3. Licht toe hoe je aan de formule `R = 0,8C` komt.
    4. Als `C` twee keer zo groot wordt, geldt dit dan ook voor `R`?
    5. Voor de temperatuurschaal van Kelvin geldt dat het aantal graden Kelvin te berekenen is door bij het aantal °C 273 op te tellen. Welke formule geldt voor het omrekenen van `C` naar `K` (het aantal graden Kelvin)? Is `K` recht evenredig met `C`?

Verwerken

  1. Fietser 1 gaat met een constante snelheid van 20 km/h van A naar B. Fietser 2 gaat met een constante snelheid van 25 km/h van B naar A. De afstand tussen A en B is voor beide fietsers 150 km. `a` is de afstand tot A en `t` is de tijd in uren.
    1. Teken in een `a,t`-assenstelsel van beide fietstochten de grafiek.
    2. Stel voor beide fietsers een passende formule op voor het verband tussen `a` en `t`.
    3. Van welke van beide fietsers is `a` recht evenredig met de tijd `t`?
    4. Bepaal met je grafische rekenmachine het tijdstip waarop beide fietsers elkaar passeren.

  2. Bij welke van de volgende formules is `y` recht evenredig met `x`? Geef dan telkens de evenredigheidsconstante.
    1. `y = 3x + 1`
    2. `y = 3x`
    3. `y = x + 3`
    4. `y = x/3`
    5. `y = 1/3 x`
    6. `x + 3y = 0`

  3. Leg uit in welke van de volgende situaties sprake is van een recht evenredig verband.
    1. Uien betaal je per kg. Is de prijs van een hoeveelheid uien recht evenredig met het gewicht?
    2. Uien betaal je per kg. Is de prijs van een hoeveelheid uien recht evenredig met het aantal?
    3. Is de afgelegde weg recht evenredig met de tijd als je met een constante snelheid rijdt?
    4. Is de afgelegde weg recht evenredig met de tijd als een auto uit stilstand optrekt?
    5. Is de lengte van een rechthoek recht evenredig met de breedte als het gaat om gelijkvormige rechthoeken?
    6. Is de lengte van een rechthoek recht evenredig met de breedte als het gaat om rechthoeken met dezelfde omtrek?

  4. Loodvrije bezine kost € 1,42 per liter en je rijdt gemiddeld 1 op 12 (1 L voor 12 km). Diesel kost € 1,10 per liter en je rijdt gemiddeld 1 op 20. Het aantal km dat iemand in een jaar aflegt is `a`.
    1. Stel een formule op voor de brandstofkosten `K` van een auto die op loodvrije benzine rijdt.
    2. Stel een formule op voor de brandstofkosten `K` van een auto die op diesel rijdt.
    3. Een auto die op diesel rijdt is duurder in aanschaf en duurder in de wegenbelasting en de verzekering dan eenzelfde auto op benzine. Als dit betekent dat de auto op diesel per jaar 1400 euro duurder is, bij welk aantal km per jaar kun je dan beter een dieseluitvoering kopen?

  5. Een loodgieter berekent € 30,= aan voorrijkosten en per uur dat hij werkt €22,50.
    1. Leg uit waarom het verband tussen zijn arbeidsloon en het aantal gewerkte uren recht evenredig is.
    2. Leg uit waarom het verband tussen de totale kosten die hij in rekening brengt en het aantal gewerkte uren niet recht evenredig is.
    3. Welke formule geldt voor zijn totale kosten `TK` afhankelijk van het aantal gewerkte uren `u`?

  6. De Elfstedentocht is een schaatstocht langs de elf Friese steden. Het laatste stuk is een vrijwel rechte tocht van Dokkum naar Leeuwarden met een lengte van 26 km. Een deelnemer komt na 7 uur schaatsen in Dokkum aan. Hij schaatst dit laatste stuk voor de wind met een vrijwel constante snelheid. Na drie kwartier is hij in Leeuwarden en heeft hij ongeveer 200 km afgelegd.
    1. Met welke snelheid heeft hij het laatste deel van de tocht gereden?
    2. Stel je voor dat `t` de tijd in uren is, `t = 0` op het moment dat deze deelnemer aan dit laatste stuk van de Elfstedentocht begint. Verder is `a` de afgelegde afstand. Welk formule voor `a` geldt er voor het laatste deel van zijn tocht?

Testen

  1. In de Tour de France wordt een aantal keren een tijdrit gereden. In deze grafieken vind je gegevens over een tijdrit van 65 km.
    1. Welke renner heeft de tijdrit gewonnen? Waar zie je dat aan?
    2. Waarom kunnen deze grafieken nooit het werkelijke verloop van deze tijdrit correct beschrijven?
    3. Bereken van iedere renner de gemiddelde snelheid.
    4. Schrijf voor elke grafiek een passende formule op.

  2. In een inkjetprinter gaan inktpatronen. Zo'n inktpatroon kost € 42,50. Je kunt er (gemiddeld) 500 afdrukken mee maken.
    1. Hoeveel ben je aan inkt kwijt als je 1800 afdrukken per jaar maakt?
    2. Met welke formule kun je de jaarlijkse kosten voor inkt berekenen?
    3. Zijn de jaarlijkse kosten voor inkt recht evenredig met het aantal afdrukken? Zo ja, wat is dan de evenredigheidsconstante?
    4. Zijn de jaarlijkse kosten voor het werken met deze printer ook recht evenredig met het aantal afdrukken? Licht je antwoord toe.