Normaalkromme

Inleiding

Veel frequentieverdelingen hebben een nette symmetrische klokvorm, zeker als het veel gegevens betreft. Voorbeelden daarvan zijn de verdeling van de lengtes van een grote groep mensen, de gewichten van volle pakken suiker, de inhoud van een grote groep colaflessen van dezelfde soort en maat, enzovoorts...

Je leert nu:

het begrip normaalkromme;
percentages onder de normaalkromme gebruiken als kansen;
een paar vuistregels voor de normaalkromme.

Je kunt al:

werken met frequentieverdelingen, hun gemiddelde en standaardafwijking.

Verkennen

Bekijk via

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Normale verdeling > Normaalkromme > Inleiding > Verkennen

de lengteverdeling van 90 meisjes van 17 jaar. Deze verdeling is bij benadering klokvormig. De bijpassende klokvormige kromme is in de figuur getekend.

> Geef in de klokvormige kromme het gemiddelde en de standaarddeviatie aan.
> Hoeveel procent van deze meisjes heeft een lengte vanaf 160 tot en met 175 cm? Bepaal het percentage ook met behulp van de klokvormige kromme.

Uitleg

Hier zie je een histogram van de lengtes van een groep soldaten op een bepaalde kazerne.

De lengte L is een statistische variabele. De kromme lijn is een benadering van de frequentieverdeling. De benadering wordt beter als je meer klassen maakt. De kromme lijn heeft een mooie klokvorm die wordt bepaald door gemiddelde en standaardafwijking.
Je noemt de kromme lijn een normaalkromme (of Gausskromme). En je zegt dat L normaal verdeeld is.

Wil je nu weten hoeveel procent van de soldaten een lengte heeft tussen 176 cm en 182 cm dan moet je schatten hoe groot de oppervlakte onder de normaalkromme tussen 176 en 182 cm bedraagt. En dat is nog niet zo eenvoudig...

‡

Opgaven

Bestudeer de Uitleg. Bekijk het histogram van de lengteverdeling van de soldaten.
1. Hoeveel procent van deze soldaten heeft een lengte tussen de 165 cm en 180 cm?
2. Ga na dat het gebied onder de normaalkromme tussen `L = 165` en `L = 180` redelijk overeen komt met dit percentage.
3. Hoeveel procent van deze soldaten heeft een lengte van meer dan 1,90 m?
4. Kleur het gebied onder de normaalkromme dat dit percentage weergeeft.
5. Welk percentage hoort bij het hele gebied onder de normaalkromme?

Kijk weer naar de lengteverdeling van de soldaten. Hun gemiddelde lengte is 182 cm.
1. Hoeveel procent van de soldaten is kleiner dan 182 cm? Bepaal je antwoord door de percentages bij de staven op te tellen. De staaf waar 182 in zit telt maar voor `2/10` mee.
2. Hoeveel procent van de soldaten is volgens de normaalkromme kleiner dan 182 cm? Komt dit antwoord overeen bij dat van a?
3. Schat met behulp van het histogram hoeveel procent van de soldaten een lengte heeft tussen gemiddelde min standaardafwijking en gemiddelde plus standaardafwijking.
4. Hoeveel procent zou er dus bij het bijpassende gebied onder de normaalkromme moeten horen?

Theorie

Veel statistische variabelen kunnen alle reële waarden (tussen bepaalde grenzen) aannemen. Bij hun frequentieverdelingen worden dan de waarnemingen in klassen gegroepeerd. Dat is lastig als je wilt weten hoeveel % van de waarnemingen ligt tussen grenzen die geen klassengrenzen zijn.

Bij statistische variabelen zoals lengte, gewicht, inhoud, etc., hebben de relatieve frequentiehistogrammen vaak de kenmerkende klokvorm. Zo'n klokvormig histogram benader je met een normaalkromme die wordt bepaald door het gemiddelde μ en de standaardafwijking σ van de verdeling. Je ziet hier zo'n normaalkromme met μ = 182 en σ = 7. Er geldt:

in de klasse L = 180 zit (bij klassenbreedte 1) 5,5% van de waarnemingen.
het totale gebied onder de normaalkromme is 100% = 1;
het hoogste punt zit bij x = μ en σ bepaalt de spreiding;
hij is symmetrisch t.o.v. de lijn x = μ en nadert de x-as als x ver van μ af ligt;
vuistregel 1: ongeveer 68% van het gebied onder de normaalkromme ligt tussen μ – σ en μ + σ;
vuistregel 2: ongeveer 95% van het gebied onder de normaalkromme ligt tussen μ – 2σ en μ + 2σ.

Je zegt wel dat de variabele normaal verdeeld is.

‡

Voorbeeld 1

De lengteverdeling van 90 meisjes van 17 jaar uit Verkennen is bij benadering klokvormig. De bijpassende klokvormige kromme met gemiddelde μ = 169 en standaardafwijking σ = 9 is in de figuur getekend.
Laat zien hoe je het percentage van deze meisjes met lengte vanaf 160 tot en met 175 cm kunt schatten met de normaalkromme en ga na dat dit percentage ongeveer met het werkelijke percentage overeen komt.

Antwoord

Het is goed om te bekijken dat de normale verdeling is gemaakt door =NORM.VERD(L3;$D$13;$D$14;ONWAAR)*100*5 enzovoorts in de cellen O3 t/m O14 in te voeren. Er moet met 5 worden vermenigvuldigd omdat de klassenbreedte 5 is en met 100 om de getallen in percentages om te zetten. "ONWAAR" is nodig om de normaalkromme te krijgen.

Het percentage meisjes met een lengte van 160 t/m 175 is nu ongeveer

bij gebruik van de normaalkromme: 17,2 + 22,1 + 20,7 = 60%
bij gebruik van de frequentieverdeling: 15,6 + 25,6 + 17,8 = 59%

‡

Voorbeeld 2

De applet die je op

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Normale verdeling > Normaalkromme > Voorbeeld 2

vindt laat de normaalkromme zien bij een statistische variabele X. Verder wordt bij elke waarde van X de oppervlakte van het gebied links van die waarde onder de kromme berekend. Voor elke normale stochast X geldt:

68% van de waarden die X kan aannemen ligt tussen x = μ + σ en x = μ – σ.
95% van de waarden die X kan aannemen ligt tussen x = μ + 2σ en x = μ – 2σ.

Controleer met de applet deze vuistregels voor de variabele X met μ(X) = 182 en
σ(X) = 7.

Antwoord

Stel in μ = 182 en σ = 7.
Je kunt dan uit de applet aflezen: P(X < 182 – 7) ≈ 0,159 en P(X < 182 + 7) ≈ 0,841.
Dus zit 84,1 – 15,9 = 68,2% van de waarden van X tussen 182 – 7 en 182 + 7.

Op dezelfde manier controleer je de tweede vuistregel: 95% zit tussen 182 – 14 en 182 + 14.

‡

Voorbeeld 3

Het gewicht G van een bepaald soort appels is normaal verdeeld met een gemiddelde van 150 gram en een standaarddeviatie van 17 gram. Er zijn zes gewichtsklassen:

klasse 1: appels lichter dan 116 gram,
klasse 2: appels vanaf 116 tot 133 gram,
klasse 3: appels vanaf 133 tot 150 gram,
klasse 4: appels vanaf 150 tot 167 gram,
klasse 5: appels vanaf 167 tot 184 gram en
klasse 6: appels vanaf 184 gram.

Hoeveel % van deze soort appels zit in elke gewichtsklasse?

Antwoord

De klassengrenzen zijn zo gekozen dat ze precies bij de vuistregels passen:
116 = μ – 2σ, 133 = μ – σ, 150 = μ, 167 = μ + σ en 184 = μ + 2σ.
95% van de appels zit tussen 116 en 184 gram, dus 5% zit daar buiten. Daarom weegt 2,5% minder dan 116 gram en bevat klasse 1 ook 2,5% van de appels. En tegelijk weegt 2,5% meer dan 184 gram: klasse 6 bevat 2,5% van de appels.
Zo bepaal je ook de percentages van de overige klassen.

‡

Opgaven

Bekijk de normaalkromme in de Theorie via
www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Normale verdeling > Normaalkromme > Theorie
Je kunt daarmee de percentages soldaten van de kazerne uit de Uitleg met een bepaalde lengte bepalen. Hun gemiddelde lengte is `mu = 182` cm. De standaardafwijking van hun lengteverdeling is `sigma = 7` cm.
1. Welke lengteklasse hoort er bij een lengte van 180 cm? Hoeveel procent van de soldaten valt in die lengteklasse?
2. Hoeveel procent van de soldaten heeft een lengte van 170 t/m 175 cm?
3. Hoeveel procent van de soldaten heeft een lengte vanaf `mu - sigma` t/m `mu + sigma`?
Je kunt de applet aanpassen voor de lengtes van de grote groep soldaten van een andere kazerne. Van deze groep soldaten is de lengteverdeling ook bij goede benadering een normale verdeling. Nu is het gemiddelde `mu = 179` cm en de standaardafwijking van `sigma = 6` cm.
1. Hoeveel procent van de soldaten van deze kazerne is 180 cm?
2. Hoeveel procent van de soldaten van deze kazerne heeft een lengte van 170 t/m 175 cm?
3. Hoeveel procent van de soldaten van deze kazerne heeft een lengte vanaf `mu - sigma` t/m `mu + sigma`?
4. Als het goed is zijn je antwoorden bij c en f hetzelfde. Over welke vuistregel gaat dit?

Bekijk in
www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Normale verdeling > Normaalkromme > Voorbeeld 1
het bestand met de lengteverdeling van de 90 meisjes.
1. Controleer eerst het antwoord in het voorbeeld.
2. Bepaal het percentage meisjes met een lengte van 170 t/m 180 cm met behulp van de frequentiepolygoon.
3. Bepaal het percentage meisjes met een lengte van 170 t/m 180 cm met behulp van de normaalkromme.
4. Komen beide antwoorden overeen?

Ook bij Voorbeeld 2 hoort een applet. Je kunt er de vuistregels mee controleren. In het voorbeeld gebeurt dit voor een normale verdeling met `mu = 182` en `sigma = 7`.
1. Controleer ze voor een normale verdeling met `mu = 179` en `sigma = 6`.
2. Controleer ze voor een normale verdeling met `mu = 175` en `sigma = 4,3`.
3. Hoeveel procent hoort er bij het gebied tussen `mu - 2 sigma` en `mu - sigma`?
4. Teken een normaalkromme met `mu = 170` en `sigma = 10`. Met grenzen `mu - 2 sigma`, `mu - sigma`, `mu`, `mu + sigma` en `mu + 2 sigma` kun je het gebied onder de normaalkromme in zes delen verdelen. Zet in elk van die delen het juiste percentage.
5. Hoeveel procent zit er in het gebied tussen `mu - 3 sigma` en `mu + 3 sigma`?

De lengte van de buxusplanten bij een plantenkweker zijn normaal verdeeld met een gemiddelde van 50 cm en een standaardafwijking van 20 cm. De normaalkromme geeft de lengteverdeling weer. De buxusteler verdeelt de planten in zes categorieën van 10 cm. Eén daarvan is de categorie `50 -< 60`.
1. Bepaal hoeveel procent van de planten tot elke categorie behoren. Bekijk eventueel Voorbeeld 3.
2. Hoeveel procent van de planten is groter dan 80 cm?
3. Hoeveel procent van de planten heeft een lengte tussen 30 en 90 cm?
4. Hoeveel procent van de planten is minstens 40 cm lang?

Uit onderzoek is gebleken dat de levensduur van lampen normaal verdeeld is. Een bepaald type lampen heeft een levensduur van 500 uur, met een standaardafwijking van 100 uur. Een grootwinkelbedrijf koopt 50000 lampen van dit type in.
1. Maak een schets van een klokvormige kromme en geef het gemiddelde en de standaardafwijking in de kromme aan.
2. Hoeveel van deze lampen branden langer mee dan 400 uur?
3. Hoeveel van deze lampen hebben een levenduur die ligt tussen 400 en 700 uur?
4. Hoeveel van deze lampen hebben een levenduur die onder de 600 uur ligt?

Misschien denk je nu dat in de praktijk bij alle statistische variabelen een normale verdeling past. Dat is echter bepaald niet het geval: in veel situaties is een verdeling bepaald niet symmetrisch. In welke van de volgende gevallen is de verdeling niet symmetrisch?
1. Het vulgewicht van machinaal gevulde pakken suiker.
2. De armlengte van volwassen mannen.
3. Het gewicht van volwassen mannen.
4. De reactietijd van een mens bij een onverwachte gebeurtenis.
5. Het inkomen van alle Nederlanders.
6. De wachttijd bij een helpdesk.

Verwerken

In een fabriek worden kilopakken suiker machinaal gevuld. Volgens de Europese norm mag niet meer dan 2,5% van de pakken suiker minder dan 1000 gram bevatten. Via
www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Normale verdeling > Totaalbeeld > Toepassingen
vind je een bestand met daarin de vulgewichten van 100 pakken suiker.
1. Maak een histogram van deze vulgewichten. Gebruik klassen met een klassenbreedte van 1 gram. Laat zien dat de vulgewichten van deze machine bij benadering een symmetrische klokvormige verdeling hebben.
2. Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie van deze vulgewichten in één decimaal nauwkeurig.
3. Hoeveel procent van de pakken suiker is lichter dan 1000 gram volgens dit histogram?
4. Bij het histogram past een normale verdeling met het zojuist berekende gemiddelde en de bijbehorende standaardafwijking. Hoeveel procent van de pakken is lichter dan 1000 gram volgens deze normale verdeling?
5. Hoeveel procent van de vulgewichten zit volgens de normale verdeling boven de 1007,4 gram?
6. Hoeveel procent van de vulgewichten wijkt volgens de normale verdeling minder dan één standaardafwijking van het gemiddelde af?

Van twee soorten lampen is de levensduur van 500 exemplaren gemeten. Het aantal branduren blijkt vrijwel normaal verdeeld te zijn. Hier zie je de bijpassende normaalkrommen. Enkele percentages zijn gegeven.

Van soort A is het gemiddelde `mu_A = 600` branduren en de standaardafwijking `sigma_A = 20` uur.
1. Hoeveel % van de lampen van soort A brandt minder dan 600 uur?
2. Hoeveel % van de lampen van soort A brandt minder dan 620 uur?
Je ziet bij soort A dat 68% van alle branduren tussen `mu_A - sigma_A` en `mu_A + sigma_A` ligt. Dat percentage is voor alle normale verdelingen hetzelfde omdat de normaalkromme alleen bepaald wordt door het gemiddelde en de standaardafwijking.
1. Hoeveel is dus de standaardafwijking van de lampen van soort B? En hoeveel is het gemiddelde aantal branduren van de lampen van soort B?
2. Waarom heeft de normale verdeling bij soort B een top die minder hoog is dan die van de normale verdeling van soort A?
3. Hoeveel % van de lampen van soort B brandt langer dan 1250 uur?

De gemiddelde lengte van vrouwen is bij benadering normaal verdeeld. In 1995 was de gemiddelde lengte van de vrouwen in Nederland 170 cm met een standaardafwijking van 6,5 cm.
1. Teken hierbij zelf een normaalkromme met gemiddelde en standaardafwijking erin aangegeven.
2. Hoeveel procent van de vrouwen had toen een lengte tussen 163,5 en 176,5 cm?
3. Hoeveel procent van de vrouwen was waarschijnlijk kleiner dan 157 cm?
4. Hoeveel procent van de vrouwen was waarschijnlijk kleiner dan 183 cm?
5. Hoe groot is de kans dat een willekeurige vrouw groter is dan 183 cm?

Hier zie je een tweetal normale verdelingen.
1. Geef bij elk van deze normaalkrommen de waarden van `mu` en `sigma`.
2. Bepaal het percentage dat hoort bij het aangegeven gebied.

Een supermarkt verkoopt spliterwten in pakken van 500 g. Veel klanten vermoeden dat in minstens eenderde van de pakken te weinig spliterwten in zitten. Zij dienen een klacht in bij de directie. Een consumentenorganisatie wordt gevraagd dit te onderzoeken. Zij nemen een steekproef van 100 pakken. Het gemiddelde gewicht van de pakken blijkt 502 g met een standaardafwijking van 80 g te zijn. Verder blijken de gewichten van pakken spliterwten normaal verdeeld te zijn.
1. Maak een klokvormige kromme bij de verdeling van de pakken spliterwten.
2. Hoeveel pakken uit de steekproef wijkten meer dan één keer de standaardafwijking af van het gemiddelde?
3. Hoeveel pakken uit de steekproef heeft een gewicht van minder dan 510 g?
4. Kun je precies bepalen hoeveel procent van de pakken meer wegen dan 511 g?
5. Maak een schatting van het percentage van de pakken dat minder weegt dan 500 g. Zullen de klagers in het gelijk gesteld worden?

Een maat voor iemands intelligentie is het IQ (intelligentiequotiënt). Dat is de score op een intelligentietest vergeleken met die van leeftijdsgenoten. Het IQ is normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15.
1. Hoeveel procent van de mensen heeft een IQ tussen 85 en 115?
2. Hoeveel procent van de mensen heeft een IQ van meer dan 130?
3. Hoe groot is de kans dat het IQ van een willekeurige voorbijganger minder is dan 130?
4. Met welk IQ behoor je tot de mensen die de 16% laagste scores hebben?

Van twee leeftijdsgroepen zijn de scores voor een test verzameld. De scores van beide groepen zijn bij benadering normaal verdeeld. De gemiddelden en de standaardafwijkingen staan in dit overzicht.

12 jarigen 16 jarigen

aantal tests 500 800

μ 48 56

σ 8 12
1. Tussen welke waarden ligt 95% van de scores van de 12-jarigen ongeveer?
2. Tussen welke waarden ligt 95% van de scores van de 16-jarigen ongeveer?
3. Hoe groot is de kans dat een 12-jarige beter scoorde dan een gemiddelde 16-jarige?

Testen

Open het bestand "Enkele lichaamsafmetingen van 5001 vrouwen uit 1947" op
www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Statistiek en kansrekening > Normale verdeling > Totaalbeeld > Toepassingen
Hierin zie je een tabel met lichaamslengtes in cm van de 5001 vrouwen uit het onderzoek in 1947 van Freudenthal en Sittig in opdracht van De Bijenkorf.
1. Bereken met de computer de gemiddelde lichaamslengte en de standaarddeviatie.
2. Teken een histogram en benader dit met een normaalkromme waarin je beide waarden aangeeft.
Neem nu verder aan dat de lichaamslengte `L` van vrouwen normaal is verdeeld met de eerder berekende waarden voor het gemiddelde `mu` en de standaarddeviatie `sigma`.
1. 95% van de lichaamslengtes zit tussen `mu – a` en `mu + a`. Hoe groot is `a`?
2. Welke minimale lengte hebben de 16% grootste lichaamslengtes?

Bij een groep van 1000 mannen is de bloeddruk normaal verdeeld met een gemiddelde van 128,5 mm Hg met een standaardafwijking van 12,5 mm Hg.
1. Maak een normaalkromme bij de bloeddrukverdeling van deze groep mannen.
2. Hoeveel van de mannen hebben een bloeddruk van minder dan 141?
3. Hoeveel mannen hebben een bloeddruk die meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van de gemiddelde bloeddruk?
4. Kun je precies bepalen hoeveel procent van de mannen een bloeddruk heeft van meer dan 150?

	12 jarigen	16 jarigen
aantal tests	500	800
μ	48	56
σ	8	12