Meerdere variabelen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Formules en grafieken > Meerdere variabelen > Inleiding

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Formules en grafieken > Meerdere variabelen > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk in de Uitleg de formule voor het vermogen van de windmolen nog eens.
   1. Bereken het vermogen van een windmolen van dit type bij een rotordiameter van 12 m en een windsnelheid van 5 m/s.
   2. Bij welke windsnelheid levert deze windmolen (rotordiameter 12 m) een vermogen van 7000 W?
   3. Als `D = 10` hangt `P` alleen van `v` af. Teken met je grafische rekenmachine een grafiek bij dit verband. Schrijf de ingevoerde formule en de vensterinstellingen op.
   4. Maak ook grafieken van het verband tussen `P` en `v` voor `D = 10` en `D = 8`.


2. Bekijk in het practicum GR hoe je een bundel grafieken maakt op je grafische rekenmachine. Ga naar:

   www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Formules en grafieken > Meerdere variabelen > Practicum GR

   Maak de grafieken van opgave 1 als één grafiekenbundel op je GR.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-a > Formules en grafieken > Meerdere variabelen > Theorie

Bestudeer de Theorie. De Voorbeelden komen in de opgaven aan de orde.

Opgaven

3. Bekijk de formule voor het vetpercentage (de Queteletindex) in Voorbeeld 1 nog eens.
   1. Over welke drie variabelen gaat deze formule?
   2. Stel je voor dat `l = 1,95`. Welke formule geeft dan het verband tussen `QI` en `G`? Teken de grafiek van `QI` als functie van `G`.
   3. Stel je voor dat `G=65`. Welke formule geeft dan het verband tussen `QI` en `l`? Teken de grafiek van `QI` als functie van `l`.
   4. Stel je voor dat `QI=20`. Welke formule geeft dan het verband tussen `G` en `l`? Teken de grafiek van `G` als functie van `l`.


4. Gebruik weer de formule voor de Queteletindex.
   1. Teken de grafiekenbundel van Voorbeeld 1 op je grafische rekenmachine.
   2. Hoe zwaar weegt iemand van 1,90 m lengte met een normaal gewicht?


5. In Voorbeeld 2 zie je een zogenaamd nomogram bij de formule voor het vetpercentage.
   1. Bepaal zo nauwkeurig mogelijk het vetpercentage van iemand met een lengte van 1,75 m die 75 kg weegt. Licht het antwoord toe.
   2. Iemand met een lengte van 1,75 m heeft een gezond gewicht. Tussen welke twee waarden ligt dat gewicht?
   3. Het hoogste vetpercentage dat iemand met een gezond gewicht kan hebben is 25. Maak een tabel en een grafiek van de mogelijke gewichten afhankelijk van de lengte. Lees daartoe het gewicht af bij lengtes van 1,60, 1,70, 1,80, 1,90 en 2,00 meter.
   4. Hoe kun je de grafiek bij c controleren met je grafische rekenmachine?


6. Je kunt nu zien wanneer iemand valt in één van de categorieën 'ondergewicht', 'normaal gewicht', 'overgewicht' en 'ernstig overgewicht'. Teken zelf op roosterpapier een grafiekenbundel bij de formule van de Queteletindex en geef daarin deze vier categoriën aan.
   


7. Bekijk in Voorbeeld 3 hoe je de formule voor een gezond gewicht en die voor de Queteletindex met elkaar kunt combineren.
   1. Maak zelf de grafiek van de `QI` van iemand met een gezond gewicht als functie van `l`.
   2. Ga na dat voor lengtes tussen de 1,50 m en de 2,20 m de `QI` inderdaad tussen de 20 en de 25 ligt.

Verwerken

8. Het vermogen van een windmolen wordt gegeven door de formule:
   P = 0,00013 · v³ · D².
   Voor een bepaalde waarde van `D` (de rotordiameter) vind je een verband tussen `P` en `v`.
   1. Teken op roosterpapier een grafiekenbundel bij `D = 5`, `D = 10`, `D = 15` en `D = 20` meter. Ga er van uit dat `0 <= v <= 40`.
   2. Lees in de grafiekenbundel de waarde van `P` af als `v = 8` en `D = 10`. Omschrijf hoe je dat doet. Controleer je antwoord met de formule.
   3. In de grafiekenbundel kun je zien hoe het vermogen bij een bepaalde diameter afhangt van de windsnelheid. Arceer het gebied waarvoor geldt: de diameter ligt tussen de 10 en de 20 meter en de windsnelheid is maximaal 90 km/h.
   4. Hoeveel bedraagt nu het maximale vermogen dat kan worden opgewekt?


9. Een gemeente wil het water in haar buitenzwembad op 20°C houden. Dit hoopt men te bereiken door een verwarmingsinstallatie aan te leggen. Omdat je in de zomermaanden ook van de zonnewarmte kunt profiteren, voorspelt een verwarmingsdeskundige dat de verwarmingskosten `k` zullen voldoen aan de formule: `k = 800-60u-50t`, waarin `u` het gemiddelde aantal zonne-uren per dag is en `t` het aantal graden Celsius is dat de buitentemperatuur afwijkt van de 20°C. `k` wordt gerekend in € per dag.
   1. Welke betekenis heeft het getal 800 in deze formule?
   2. Op een bepaalde dag is de gemiddelde temperatuur 16°C. Dan is `t = -4`. Als er die dag 3,5 zonne-uren zijn, hoe groot zijn dan de verwarmingskosten?
   3. Onder welke omstandigheden blijft de temperatuur van het zwembad kostenloos op 20°C? Beschrijf een paar mogelijke situaties.
   4. Teken op roosterpapier een grafiekenbundel voor `k` afhankelijk van `u` voor `t = -2`, `t = -1`, `t = 0`, `t = 1` en `t = 2`.
   5. Geef in je grafiekenbundel aan hoe hoog de verwarmingskosten zijn als op een bepaalde dag de zon 6 uur schijnt en de temperatuur 22°C bedraagt. Bereken dit antwoord ook met de formule.
   6. In een bepaalde week varieert de temperatuur tussen de 18°C en de 22°C. Het aantal uren zon per dag varieert van 4 uur tot maximaal 10 uur. Tussen welke twee bedragen liggen de totale verwarmingskosten voor het zwembad in die week?


10. De ANWB adviseert om bij het autorijden een afstand `d` (in m) te bewaren die de helft is van je eigen snelheid `v` in km/h.
    1. Geef de formule van `d` als functie van `v`.
    Gemiddeld is een auto 4 m lang. De afstand tussen de voorbumpers van twee auto's is dus `s=4+d` m. Neem aan dat alle auto's zich aan het advies van de ANWB houden, 4 m lang zijn en dezelfde snelheid `v` hebben.
    2. De tijd `t` in seconden tussen twee auto's is nu te berekenen met de formule: `t=(3,6s)/v`.
       Licht dit toe.
    3. Stel een formule op voor `t` als functie van `v` door formules te combineren.
    4. Het aantal auto's `N` dat per minuut een bepaald punt passeert is: `N=60/t`.
       Schrijf de formule op van `N` als functie van `v`.
    5. Er passeren 29,9 auto's per minuut. Hoe groot is de snelheid `v` van deze autostroom?


11. Hoeveel brandstof een personenauto verbruikt, hangt onder andere af van de af te leggen afstand, de rijstijl en het wachten voor verkeerslichten. We gaan dit met behulp van een wiskundig model nader onderzoeken. In dit model wordt het brandstofverbruik `B` (in mL) van een auto berekend met de volgende formule:
    `B = a * L + b * S + c * D`
    met:
    • `L` = ritlengte in km;
    • `S` = aantal stops onderweg;
    • `D` = totale wachttijd voor verkeerslichten in seconden.
    `a` en `b` zijn getallen die van de rijsnelheid `V` (in km/h) afhangen en `c` is een constante. Voor `a`, `b` en `c` geldt:
    `a = 170 - 4,55V + 0,049V^2`
    `b = 0,0077V^2`
    `c = 0,39`
    We laten in dit model optrekken en afremmen buiten beschouwing, zodat we in de uitdrukkingen voor `a` en `b` steeds een constante waarde voor `V` kunnen invullen.
    1. Neem een rit over 1 km met een snelheid van 50 km/h, 2 stops onderweg en een totale wachttijd van 40 seconden. Bereken hoeveel procent van het totale brandstofverbruik gebruikt wordt voor de stops en het wachten.
    Twee auto’s staan voor verkeerslicht `P`. 600 m verderop staat een verkeerslicht `Q`. Als de auto’s tussen `P` en `Q` met een snelheid van 50 km/h rijden, springt het verkeerslicht `Q` precies op tijd op groen en kunnen ze doorrijden. Houd geen rekening met afremmen en versnellen.
    Auto 1 rijdt tussen `P` en `Q` steeds met een snelheid van 50 km/h en kan dus doorrijden bij `Q`. Auto 2 rijdt met een snelheid van 70 km/h, zodat deze zal moeten stoppen en wachten bij Q.
    2. Laat met een berekening zien dat auto 2 ruim 12 seconden voor verkeerslicht `Q` moet wachten.
    3. Bekijk de eerste 900 m na verkeerslicht `P`. Na `Q` komt er geen verkeerslicht meer en auto 1 rijdt ook daar 50 km/h en auto 2 rijdt daar weer 70 km/h. Onderzoek of auto 2 meer dan twee keer zo veel brandstof nodig heeft als auto 1.

Testen

12. Bij de verkoop van een bepaald artikel gelden de formules `TO = p * q` en `q = 200 - 0,5p`, waarin `TO` de totale maandelijkse opbrengst bij de verkoop van dat artikel is. `p` is de prijs (in €) en `q` is de verkochte hoeveelheid per maand.
    1. Combineer deze twee formules tot een formule voor `TO` als functie van `q`.
    2. Voor de maandelijkse winst `TW` geldt: `TW=TO-TK` waarin `TK=40q+9000` de totale maandelijkse kosten voor dit artikel zijn. Stel een formule op voor `TW`.
    3. Bij welke verkoopcijfers wordt winst gemaakt?


13. Het subsidiebedrag `B` dat een sportclub jaarlijks ontvangt hangt af van het aantal seniorleden `s` en het aantal junioren `j`. Er geldt: `B=1000+10j+5s`.
    1. Hoeveel subsidie krijgt een sportclub met 60 junioren en 115 senioren?
    2. Maak op roosterpapier bij deze formule een grafiekenbundel met `B=1000`, `B=1500`, `B=2000`, `B=2500`.
    3. In een bepaald jaar ontvangt men een subsidie van 1600 euro. Er zijn dat jaar 80 senioren. Geef in je grafiek aan hoeveel junioren de club dat jaar heeft. Bereken dit aantal met de formule.
    4. Al jaren lang ontvangt men een subsidie van tussen de 1500 en de 1800 euro. Geef in je grafiek het bijbehorende gebied aan.
    5. Het aantal seniorleden blijft ook al jaren constant, ongeveer 80 personen. Tussen welke aantal heeft het aantal juniorleden dan gevarieerd? Geef dit in de figuur aan.