Formules gebruiken

Inleiding

De grafische rekenmachine kan heel snel grafieken maken bij formules die een verband tussen twee variabelen weergeven. Maar dan moeten ze wel in de juiste vorm staan: hij kan alleen werken met formules waarbij duidelijk is voor welke variabele getallen worden ingevuld (de invoervariabele) en welke variabele dan moet worden uitgerekend. Ook mogen er natuurlijk niet meerdere uitkomsten mogelijk zijn. Verbanden die aan deze eisen voldoen noem je "functies".
Soms moet je de formule een andere vorm geven om hem in je grafische rekenmachine te kunnen invoeren.

Je leert nu:

• formules herschrijven tot ze de juiste vorm hebben voor de grafische rekenmachine;
• het begrip functie en functievoorschrift;
• grafieken maken met de grafische rekenmachine.

Je kunt al:

• werken met variabelen (met 'letters');
• tabellen maken en daarbij grafieken tekenen.

Verkennen

Als je nog nooit met een grafische rekenmachine hebt gewerkt, doe je nu eerst het practicum "Basistechnieken". Je vindt het bij: Practicum GR.

Uitleg

Een formule is een zin met variabelen met een is-gelijk-teken er in.
Als een formule een verband beschrijft tussen twee variabelen, kun je er een tabel bij maken en een grafiek tekenen.

• De formule A = z² is een vergelijking die een verband tussen variabelen, namelijk A en z vastlegt. Hier zie je de grafiek erbij.
• De vergelijking 2t + 40 = 300 beschrijft niet een verband tussen twee variabelen. Je kunt er dus geen grafiek bij tekenen. Deze vergelijking kun je oplossen: hij heeft als oplossing t = 130, want 2 × 130 + 40 = 300.

Formules zoals 2l + 2b = 60 en b = 30 – l beschrijven hetzelfde verband, ze zijn gelijkwaardig.
Je kunt de formule 2l + 2b = 60 herschrijven:

2l + 2b = 60     _{beide zijden delen door 2}
    l + b = 30      _{beide zijden min l}
         b = 30 – l

Nu is b uitgedrukt in l, je zegt dat b een functie is van l.
Bij het herschrijven van formules maak je gebruik van de algebraïsche technieken die je eerder hebt geleerd.

‡

Opgaven

1. Gebruik de formule: oppervlakte(rechthoek) = lengte × breedte.
   1. Stel dat gegeven is: lengte = 6 m. Vul dit in de formule in. Geef de formule die hierdoor ontstaat.
   2. Stel je voor dat: oppervlakte = 12 m². Schrijf op hoe de formule dan wordt.
   3. Van een rechthoek is bekend dat het een vierkant is. Schrijf de formule op die voor deze rechthoek het verband tussen oppervlakte en lengte beschrijft.
   4. De volgende grafieken horen bij de formules uit a, uit b of c. Schrijf bij elke grafiek de juiste formule, zet de juiste variabelen bij de assen en maak er een goede schaalverdeling bij.
   
           
   


2. Als de omtrek van een rechthoek 60 cm is, dan geldt voor de lengte `l` en de breedte `b`: `2l+2b=60`.
   Bekijk de formule `2l+2b=60` in de Uitleg.
   1. Waarom kun je deze formule zo niet in de grafische rekenmachine invoeren?
   2. De formule is te herschrijven tot `b=30-l`. Voer nu de formule in de grafische rekenmachine in. Neem voor het venster de standaardinstellingen en schrijf op welke formule je precies invoert.
   3. Waarom krijg je nu geen grafiek in beeld?
   4. Stel je venster zo in dat `0 <= x <= 30` en `0 <= y <= 30`. Waarom krijg je nu de hele grafiek in beeld?

Theorie

Bij een formule, die het verband tussen de variabelen x en y beschrijft, noem je y een functie van x, wanneer deze formule de vorm y = ... heeft.
De x-waarden zijn de invoerwaarden, de y-waarden de uitkomsten. In de bijbehorende grafiek komen de y-waarden altijd op de verticale as.

• In de formule y = x² + 4 is y een functie van x.
  Voer je x = 3 in, dan is de uitkomst y = 13. Kortweg: y(3) = 13.
• In de formule P = 0,052v³ is P een functie van v.
  Voer je v = 10 in, dan is de uitkomst P = 5,2. Kortweg: P(10) = 5,2.

Formules van de vorm y = ... kun je in de grafische rekenmachine invoeren.

    

Soms moet je een formule herschrijven om hem als functie te kunnen invoeren in de grafische rekenmachine. Bij het herschrijven van formules maak je gebruik van:

• aan beide zijden van een is-gelijk-teken mag je hetzelfde optellen of aftrekken;
• aan beide zijden van een is-gelijk-teken mag je met hetzelfde vermenigvuldigen of delen (behalve vermenigvuldigen of delen met 0);
• en soms moet je eerst haakjes uitwerken.

‡

Voorbeeld 1

Als een formule een verband tussen twee variabelen beschrijft, kun je vaak een grafiek tekenen.
Stel je voor dat iemand 30 m² graszoden heeft gekocht. Daarmee kun je verschillende rechthoekige grasveldjes leggen. Tussen lengte en breedte (in m) van deze veldjes bestaat dan dit verband:

lengte · breedte = 30

Bij deze formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen. Je begint met een tabel en een "leeg" assenstelsel.

Als lengte = 1 dan is 1 · breedte = 30.
En dus is dan breedte = 30.

Dit komt in de tabel.
In het assenstelsel komt het punt (1, 30).

Als lengte = 2 dan is 2 · breedte = 30.
En dus is dan breedte = 30/2 = 15.

Dit komt in de tabel.
In het assenstelsel komt het punt (2, 15).

En zo vul je de tabel verder in.
De bijbehorende punten komen in het assenstelsel.

Tenslotte teken je een (kromme) lijn door de getekende punten.

Voorbeeld 2

De formule lengte × breedte = 30 kun je korter schrijven als l · b = 30.
Je kunt er een grafiek bij tekenen, zie Voorbeeld 1.
Hoe maak je hier een grafiek bij op de grafische rekenmachine?

Antwoord

Daarvoor moet je de formule herschrijven tot de vorm l = ... of b = ...

Stel je kiest voor de vorm l = ...
Dit betekent je vat l op als functie van b.
De formule wordt dan `l=30/b`.

Voor de rekenmachine voer je de formule in als Y1=30/X.
Je moet ook de vensterinstellingen even aanpassen: X loopt van 0 tot 30 en Y ook.
Als het goed is krijg je dan een nette grafiek, vergelijk hem met die in Voorbeeld 1.

‡

Voorbeeld 3

De formule x + 2y = 12 beschrijft een verband tussen x en y.

Herschrijf de formule zo, dat y is uitgedrukt in x en teken dan met de grafische rekenmachine de bijpassende grafiek.

Antwoord

Dit gaat zo:

x + 2y = 12               _{aan beide zijden x aftrekken}
     2y = 12 – x          _{aan beide zijden delen door 2}
       y = 6 – 0,5x

Je hebt de variabele y geschreven als functie van x. Nu kun je de formule in de grafische rekenmachine invoeren.

‡

Voorbeeld

Haakjes uitwerken is gebaseerd op:
a  · ( x  +  y ) =  a  ·  x  +  a  ·  y
en
( a  +  b ) · ( c  +  d ) =  a  ·  c  +  a  ·  d  +  b  ·  c  +  b  ·  d

Voorbeelden van haakjes uitwerken zijn:

• –2 · (x – y) = –2x – –2y = –2x + 2y
• x · (3 – x) = x · 3 – x · x = 3x – x²
• 2 – (x – 5) = 2 – x – –5 = 2 – x + 5 = 7 – x
• (x + 3)(x – 5) = (x + 3)(x + –5) = x · x + x · –5 + 3 · x + 3 · –5 = x² – 2x – 15
• (p – 5)² = (p – 5)(p – 5) = p² – 5p – 5p + 25 = p² – 10x + 25

Let er wel op dat het uitwerken van haakjes geen blind automatisme wordt. Soms kun je met een formule juist veel eenvoudiger werken als je de haakjes gewoon laat staan.
Denk ook steeds na of het uitwerken wel is toegestaan.

• Goed: `(x+6)/2=(x+6)//2=x/2+6/2=1/2x+3`
• Fout: `6/(x+2)=6//(x+2)=6/x+6/2=6/x+3`

‡

Opgaven

3. Bekijk de Voorbeelden 1 en 2.
   Je wilt een grafiek maken bij de formule `2l+2b=100`.
   1. Hoe doe je dat "met de hand"?
   2. Hoe doe je dat met de grafische rekenmachine? Waarom moet je de formule eerst herschrijven?
   3. Schrijf de formule zo, dat `l` een functie is van `b`.
   4. Bij welke waarde van `b` geldt `l=7,5`?


4. Bekijk Voorbeeld 3. Schrijf de volgende formules zo, dat `y` is uitgedrukt in `x` en maak de grafiek op de grafische rekenmachine
   1. `3x+y=6`
   2. `x*y=12`
   3. `x=4-y`
   4. `2x-3y=6`
   5. `x^2+4y=8`
   6. `0,5x+1,5y=12`


5. Bij welke van de volgende formules kun je een grafiek maken? Schrijf in dat geval de formule zo, dat je hem in de grafische rekenmachine kunt invoeren.
   1. inhoud = `3r^2` met `r` in cm
   2. inhoud = `l * b * h` met `l`, `b` en `h` in cm
   3. `4(a - b) = 4a - 4b`
   4. `l * b = 20` met `l` en `b` in m


6. De Quetelet-index (`QI`) is een maat voor je gezondheid.
   Je berekent de `QI` met de formule: `QI=G/(l^2)`.
   Hierin is `l` je lengte in meters en `G` je gewicht in kilogram.
   Een `QI` van tussen de 20 en de 25 betekent een gezond gewicht.
   1. Bereken de `QI` van iemand die 180 centimeter lang is en 78 kilogram weegt.
   2. Bij een `QI` van 20 kun je een grafiek maken van iemands gewicht afhankelijk van zijn lengte. Teken die grafiek.
   3. Teken in hetzelfde assenstelsel de grafiek `QI = 25`.
   4. Stel je een persoon voor van 180 centimeter lengte. Geef in je figuur aan welke gewichten voor deze persoon gezond zijn. Zet de ondergrens en de bovengrens er in de grafiek bij, in kilogram nauwkeurig.


7. Bekijk Voorbeeld 4. Werk in de volgende uitdrukkingen de haakjes uit:
   1. `3x * (x - 2y)`
   2. `2a - (9a + 6)`
   3. `0,5p^2 * (100 - p) - p * (20p + 100)`
   4. `-5p^3(p^2 - 3p^3)`


8. Bekijk Voorbeeld 4. Werk in de volgende uitdrukkingen de haakjes uit:
   1. `(x + 2) * (x + 4)`
   2. `2(b + 4)(b - 2)`
   3. `(l + 3)(1/l + 6)`
   4. `(5c - 4)^2`

Verwerken

14. Voor de inhoud van een cilindervormig blikje geldt: `V = pi * r^2 * h`.
    Hierin is `V` de inhoud (het volume), `r` de straal in centimeter en `h` de hoogte in centimeter.
    1. In welke eenheid moet `V` worden uitgedrukt?
    2. Hoeveel bedraagt de inhoud van een blikje met een diameter van 80 millimeter en een hoogte van 16 centimeter?
    3. Welke formule geeft het verband tussen `V` en `r` voor blikjes met een hoogte van 16 centimeter?
    4. Teken een grafiek bij de formule die je in c hebt gevonden.
    5. Van andere blikjes ligt de inhoud vast: `V = 1` L. Welk verband is er nu tussen `r` en `h`? Teken er een grafiek van.


15. Welke van deze formules beschrijft een verband tussen twee variabelen? Teken er dan een grafiek bij.
    1. inhoud(kubus) = `r^3`
    2. `s = 400 - 5t^2`
    3. `a^2 + b^2 = c^2`


16. Schrijf de volgende formules zo, dat `y` een functie is van `x`.
    1. `2x+4y=10`
    2. `2x-3y+6=0`
    3. `0,5y^2=8x`
    4. `x^2*y=6`


17. Werk de haakjes uit:
    1. `-2x(x^2+6x)`
    2. `-2x-(x^2+6x)`
    3. `(t+20)(t-5)`
    4. `(x^2+1)(3x-2)`
    5. `(a-3)(a+3)`
    6. `(6x - 3)^2`


18. Een ondernemer verkoopt een bepaald artikel. Er bestaat een verband tussen de hoeveelheid `q` die per maand van dit artikel wordt verkocht en de prijs `p` (in € per verkochte eenheid). Dit verband wordt beschreven door de formule: `q = 4000 - 20p`.
    1. Hoeveel eenheden van dit artikel verkoopt hij in een bepaalde maand als € 50,- per eenheid rekent?
    2. De ondernemer koopt dit artikel in voor € 30,- per eenheid. Wil hij geen verlies lijden dan is dit zijn laagste verkoopprijs. Hoeveel eenheden kan hij dan maximaal maandelijks verkopen?
    3. Negatieve waarden voor `q` zijn onmogelijk. Tot hoever zou de verkoopprijs dus kunnen oplopen?
    4. De opbrengst per maand bereken je door de prijs `p` per stuk te vermenigvuldigen met de verkochte hoeveelheid per maand. Laat zien dat `R=4000p-20p^2`.
    5. Maak een tabel voor de opbrengst waarbij `p=30,40,50,60,...,2000`. Gebruik je grafische rekenmachine.
    6. Bij welke prijs heeft deze ondernemer de grootste maandelijkse opbrengst?

Testen

12. Bij welke van de volgende formules kun je een grafiek maken? Schrijf de op hoe je die formule in de grafische rekenmachine moet invoeren.
    1. `a + b = 8`
    2. `4x^2 - 25 = 135`
    3. `R = 50p - 2p^2`


13. Werk de haakjes uit:
    1. `p(2p+1)`
    2. `(4+k)(5-2k)`
    3. `(b+5)^2`


14. Een boer heeft een zuiver vierkant stuk land. Hij staat een strook van 3 m breed aan de zuidkant van zijn land af voor de aanleg van een fietspad. Ter compensatie krijgt hij aan de oostkant een strook van 3 m terug.
    1. Noem de oorspronkelijke lengte van het land `x` (meter). Hoe groot is dan de oppervlakte van het land voor de aanleg van het fietspad?
    2. Hoe groot is de oppervlakte van het land na aanleg van het fietspad? (Maak eerst een schets van de situatie. Let op de haakjes!)
    3. Laat door uitwerken van de haakjes zien dat de boer spijt zal hebben van de compensatieregeling.