Toepassingen

De functie f(z) = e^z is de complexe e-machtsfunctie. Hij is periodiek.

Stel z = a + bi en a kies je uit [–1, 1] en b uit
[–10, 10]. Het domein van f wordt dan de rechthoek [–1, 1]×[–10, 10].
In de applet zie je z en z_f = f(z) bij dit domein.
Het bereik wordt het gebied tussen de twee (blauwe) cirkels om O.

Dat is gemakkelijk in te zien, want
f(z) = e^a + bi = e^a · e^bi.
Voor de functiewaarden gelt dus |f(z)| = e^a en
arg(f(z)) = b.
De twee cirkels die het bereik bepalen hebben straal e^–1 en e¹.

De periodiciteit van f(z) blijkt als je alleen b verandert: f(a + bi) = f(a + (b + 2π)i).

Op dezelfde wijze kun je de complexe functie g(z) = ln(z) bestuderen.
Dan merk je dat het handiger is om uit te gaan van z = r e^iφ...