Voorbeeld

Je ziet hier de grafiek van een functie f van de vorm f(x) = sin²(x) – p sin(x). Hierin is p een nog te bepalen onbekende. Het domein van deze functie is [0,2π]. Als p = 1 heeft de grafiek van f vier extremen.
Voor welke waarden van p heeft de grafiek van f vier extremen?

Antwoord

f'(x) = 2 sin(x) cos(x) – p cos(x) = 0 geeft:
cos(x)(2 sin(x) – p) = 0
en dus:
cos(x) = 0   V   sin(x) = 0,5p.

Op [0,2π] heeft cos(x) = 0 twee oplossingen.
Dan moet dit ook gelden voor sin(x) = 0,5p.
Dit betekent –1 < 0,5p < 1 en p ≠ 0.
Dus moet –2 < p < 2 en p ≠ 0.