Vergelijkingen

Verkennen

Opgaven

  1. Je bepaalt je (Europese) schoenmaat `s` door de lengte van je voet `v` in cm te meten. Er geldt:

    `s = 1,5 * (v + 2)`

    1. Hoeveel bedraagt jouw schoenmaat?
    2. Welke schoenmaat heeft iemand met een voetlengte van 27 cm?
    3. Hoe lang moet iemand's voet zijn als hij een schoenmaat van 38 heeft?

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 1/2 HAVO/VWO > Grafieken en formules > Vergelijkingen > Uitleg

Bekijk goed wat je verstaat onder een vergelijking. Belangrijk is vooral het oplossen van een vergelijking met één variabele. Je ziet hoe je daar een grafiek bij kunt gebruiken.

Opgaven

  1. Op school komt een nieuwe een kopieermachine. Leerlingen mogen daar voor 10 cent per kopie gebruik van maken.
    De school moet deze machine huren voor € 220,00 per maand en elke kopie kost de school 8,5 cent. De vraag ia: "Vanaf welk aantal kopieën per maand zijn de kosten voor het gebruiken van deze kopieermachine even groot als de inkomsten?"
    1. Welke vergelijking hoort hier bij?
    2. Los deze vergelijking op door tabellen te maken en bijbehorende grafieken te tekenen.
    3. Probeer zo nauwkeurig mogelijk uit de figuur af te lezen wat het antwoord op de vraag zou moeten zijn.

  2. Het probleem van de vorige opgave is niet exact op te lossen met behulp van de grafiek.
    1. Waarom is dat in dit geval ook niet nodig?
    2. Hoe zou je de vraag nauwkeuriger kunnen beantwoorden?

Voorbeeld 1

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 1/2 HAVO/VWO > Grafieken en formules > Vergelijkingen > Voorbeeld 1

Je ziet hoe je een vergelijking zo nauwkeurig als je wilt kunt oplossen. Je moet dan de oplossing door inklemmen vinden.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 wordt de vergelijking `20 - 1,50 * x = 30 - 3,25 * x` opgelost.
    1. Hoe kun je met behulp van de grafiek een eerste benadering van de oplossing aflezen?
    2. Maak nu zelf de tabel tussen `x = 5,7` en `x = 5,8` en bepaal de oplossing in één decimaal nauwkeurig.
    3. Bepaal nu je oplossing in twee decimalen nauwkeurig.
    4. Bepaal tenslotte je oplossing in drie decimalen nauwkeurig.

  2. Los de vergelijking `0,25 * t + 42 = 0,36 * t` in één decimaal nauwkeurig op.
    Gebruik grafieken en inklemmen.

Voorbeeld 2

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 1/2 HAVO/VWO > Grafieken en formules > Vergelijkingen > Voorbeeld 2

In dit voorbeeld zie je nog eens hoe je met inklemmen altijd een oplossing kunt vinden.

Opgaven

  1. Bekijk de vergelijking `x * x * x = 6` in Voorbeeld 2.
    1. Maak een tabel met voor `x` de waarden 1,80; 1,81; 1,82; 1,83; 1,84.
    2. Ligt de juiste oplossing inderdaad tussen 1,81 en 1,82?
    3. Bepaal nu zelf de juiste waarde van `x` in twee decimalen nauwkeurig.

  2. Met de vergelijking `38 = 1,5 * (v + 2)` bepaal je een voetlengte `v` bij schoenmaat `s = 35`.
    1. Teken een grafiek van `s = 1,5 * (v + 2)`. Maak eerst een tabel met `v = 15, 20, 25, 30, 35`.
    2. Bepaal zo nauwkeurig mogelijk het punt op de grafiek met `s = 38`.
    3. Welke oplossing heeft je vergelijking in mm nauwkeurig?

Voorbeeld 3

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 1/2 HAVO/VWO > Grafieken en formules > Vergelijkingen > Voorbeeld 3

In dit voorbeeld zie je hoe je vergelijkingen ook kunt oplossen door slim rekenen.

Opgaven

  1. Bekijk in Voorbeeld 3 hoe de vergelijking `42 = 1,5 * (v + 2)` wordt opgelost.
    1. Welke vergelijking hoort bij de vraag: "Bereken de voetlengte bij een schoenmaat van 36"?
    2. Los deze vergelijking op dezelfde manier als in het voorbeeld op.
    3. Controleer je oplossing door de gevonden waarde voor `v` in de vergelijking in te vullen.

  2. Ook de gekozen eenheden spelen bij vergelijkingen een rol. Als je een schoenmaat van 36 hebt, betekent dit dat je schoenmaat afgerond 36 is.
    1. Waarom betekent dit dat `s` een getal vanaf 35,5 tot en met 36,4 moet zijn?
    2. Welke voetlengte hoort er bij `s = 35,5`? Los daartoe de bijbehorende vergelijking op. Geef de voetlengte in mm nauwkeurig.
    3. Welke voetlengte hoort er bij `s = 36,4`? Los daartoe de bijbehorende vergelijking op. Geef de voetlengte in mm nauwkeurig.
    4. Welke voetlengtes horen er bij schoenmaat 36?

  3. Je kunt veel meer vergelijkingen oplossen door "slim rekenen".
    Bekijk de vergelijking `2,25 * r + 4,50 = 29,70`.
    1. Deze vergelijking heeft de vorm `[...] + 4,50 = 29,70`. Hoeveel is `[...]`?
    2. Omdat `[...] = 2,25 * r` kun je nu `r` uitrekenen. Hoe?
    3. Welke oplossing heeft deze vergelijking dus?

  4. Bekijk de vergelijking `30 - 1,5 * t = 0`.
    1. Deze vergelijking heeft de vorm `30 - [...] = 0`. Hoeveel is `[...]`?
    2. Omdat `[...] = 1,5 * t` kun je nu `t` uitrekenen. Hoe?
    3. Welke oplossing heeft deze vergelijking dus?

  5. Bekijk de vergelijking `0,25 * t + 42 = 0,36 * t`.
    Kun je deze vergelijking oplossen door "slim rekenen"? En hoe dan? Licht je antwoord toe.

  6. Los de volgende vergelijkingen op door slim rekenen.
    1. `0,12 * a + 1400 = 3200`
    2. `200/(2 + v) = 10`
    3. `2,5 * (4 + 2 * p) = 25`
    4. `(2 * x - 12)/3 = 75`

Oefenen

  1. Bij het opbranden van een kaars hoort de formule `L = 30 - 4 * t`, waarin `L` de lengte in cm en `t` de brandtijd is.
    1. Waaraan zie je dat dit een lange dunne cilindervormige kaars is?
    2. Welke vergelijking hoort er bij de vraag: "Na hoeveel uur branden is deze kaars nog 16 cm lang?"
    3. Los deze vergelijking op met behulp van grafieken.
    4. Controleer je antwoord door de oplossing in de vergelijking in te vullen.
    5. Los door slim rekenen de vergelijking `30 - 4 * t = 9` op. Geef het bijbehorende punt in de grafiek aan.

  2. Hoveniersbedrijf "Jongman" rekent voor het winterklaar maken van een tuin € 75,00 plus € 2,50 per m2.
    1. Maak een formule bij het verband tussen de oppervlakte `A` van de tuin en de kosten `K` voor het winterklaar maken.
    2. Meneer Van Gils heeft zijn tuin laten opknappen. Hij kreeg een rekening van € 475,00. Welke vergelijking moet je oplossen om te weten hoe groot de tuin van meneer Van Gils is?
    3. Los deze vergelijking op. Hoe groot is de tuin van meneer Van Gils?
    Het concurrerende hoveniersbedrijf "Green Garden" rekent voor het winterklaar maken slechts € 25,00 en daarbij € 3,60 per m2.
    1. Met welke vergelijking kun je berekenen bij welk aantal m2 tuin beide bedrijven even duur zijn?
    2. Los deze vergelijking op met behulp van grafieken en inklemmen. Geef je antwoord in gehele m2 nauwkeurig.

  3. Van een vierkant heeft elke zijde een lengte van `z` cm.
    1. Welke formule geldt voor de oppervlakte `A` (in cm2) van dit vierkant?
    2. Zo'n vierkant kan een oppervlakte hebben van 100 cm2. Hoe groot is `z` dan?
    3. Zo'n vierkant kan ook een oppervlakte hebben van 10 cm2. Met welke vergelijking kun je nu bepalen hoe groot `z` is?
    4. Los die vergelijking op met behulp van inklemmen en bereken `z` in drie decimalen nauwkeurig.

  4. Los de volgende vergelijkingen op door slim rekenen. Geef het antwoord exact, zonder benaderingen.
    1. `60 - 1,9 * t = 10`
    2. `(2v)/3 + 15 = 21`
    3. `1/4 * (20 - x) = 2`
    4. `126 - 2 * z * z = 28`

  5. Een aannemer krijgt de opdracht een kantoor te bouwen. Deze opdracht betekent 24000 manuren werk. Dus als één man alle werk zou doen, zou hij er 24000 uur mee bezig zijn.
    1. Stel dat er 20 mensen aan het kantoorgebouw werken. Hoeveel uur zal ieder dan gemiddeld bezig zijn met deze klus?
    2. Hoeveel uur werkt iedere werknemer gemiddeld als er 100 mensen aan het werk zijn? In hoeveel weken van 40 uur kan het kantoor dan gebouwd worden?
    3. Stel een formule op voor het gemiddeld aantal te werken uren per werknemer `a` afhankelijk van het aantal werknemers `w` dat aan dit gebouw werkt.
    4. De opdrachtgever wil dat de aannemer het kantoorgebouw in 3 maanden bouwt. Ga weer uit van een 40-urige werkweek. Met welke vergelijking kan de aannemer nu uitrekenen hoeveel werknemers hij in moet zetten?
    5. Los die vergelijkig op. Hoeveel werknemers zal de aannemer inzetten?

Toepassen

  1. Break-even-point

    In de economie wordt regelmatig met vergelijkingen gewerkt. Zie

    www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 1/2 HAVO/VWO > Grafieken en formules > Vergelijkingen > Toepassen

    Je ziet daar wat in de economie onder een "break-even-point" wordt verstaan.
    1. Los zelf de vergelijking `1,15 * x = 25000 + 0,80 * x` op. Gebruik een grafiek en inklemmen.
    2. Wat is nu het "break-even-point" in dit geval?
    3. Waarom is het in feite niet erg nuttig om de vergelijking tot op liters nauwkeurig op te lossen?
    De firma ArtDraw verkoopt een bepaald tekenpotlood van € 1,20 per stuk. De kosten om deze potloden te kunnen produceren bedragen € 0,45 per potlood plus € 35000,= vaste kosten per maand. Ga er van uit dat elk geproduceerd potlood ook wordt verkocht.
    1. Met welke vergelijking kun je nu het break-even-point berekenen voor de verkoop van deze potloden?
    2. Vanaf welk aantal potloden gaat ArtDraw winst maken?

  2. Tsjirpende krekels

    Volgens bioloog Midas Dekkers kun je de temperatuur `T` in °C berekenen met behulp van het gemiddeld aantal tsjirpen `n` per minuut van de sneeuwboomkrekel. Er geldt:

    `T = (n - 40)/7 + 10`

    1. De temperatuur bedraagt 20°C. Hoeveel keer per minuut tsjirpt de sneeuwboomkrekel dan? Bepaal je antwoord door de bijbehorende vergelijking op te lossen.
    2. De temperatuur bedraagt 25°C. Hoeveel keer per minuut tsjirpt de sneeuwboomkrekel nu gemiddeld vaker dan bij 20°C?