Oneindigheid heeft mensen door de eeuwen heen immens gefascineerd. Het is de grote verdienste van Georg Cantor (1845 – 1918) geweest om het begrip oneindigheid wiskundig binnen bereik te brengen. Hij deed dit met behulp van de door hem ontwikkelde theorie van (oneindige) verzamelingen. Opmerkelijke, misschien zelfs tegenintuïtieve resultaten vloeiden hieruit voort, zoals zijn constatering dat er verschillende graden van oneindigheid zijn. Zo blijkt de verzameling van reële getallen, dat wil zeggen de getallen van de getallenrechte, 'oneindiger' te zijn dan de verzameling natuurlijke getallen $\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{...}$ Anderzijds liet hij zien dat er 'net zo veel' breuken zijn als natuurlijke getallen, terwijl er ogenschijnlijk veel meer van zijn. Cantors werk werd in zijn tijd bepaald niet door alle collega's gewaardeerd. Daarvoor trad hij teveel buiten de toen gangbare wiskundige paden. Pas later in zijn leven werd de verdienste van zijn inzichten begrepen. De beroemde wiskundige David Hilbert merkte op dat "Cantor ons een paradijs heeft binnengebracht waaruit niemand ons meer zal verjagen". » De tijd van Cantor » Meer over Cantor » Cantor's verzamelingenleer

Links naar anderstalige sites: » Over Cantor

De tijd waarin Cantor leefde

Cantor groeide op in de tijd dat Duitsland een Bond van Duitse staten was, een tamelijk los samenwerkingsverband met een dominante rol voor Pruisen. Na de overwinning in de Frans-Duitse oorlog (1870 – 1871) weet de Pruisische ministerpresident Bismarck de Bond om te smeden tot het Duitse keizerrijk met de Pruisische koning Wilhelm I als keizer en met hem zelf als rijkskanselier. Later raakt Bismarcks rol uitgespeeld en trekt keizer Wilhelm II alle macht naar zich toe. In de jaren na de eeuwwisseling neemt de spanning op het internationale toneel langzaam toe. Tegen het einde van Cantors leven brak tenslotte de eerste wereldoorlog (1914 – 1918) uit.

De periode 1871 – 1914 is de tijd waarin in Duitsland de industrie een grote vlucht nam. Bedrijven als BASF, Siemens en Bayer dateren uit die tijd.

Berlijn was in Cantors tijd onmiskenbaar het centrum van de Duitse wiskunde met grootheden als Dedekind, Kronecker en Weierstrass.

Over Cantor

Cantor was de oudste zoon van Georg Woldemar Cantor, een succesvol effectenhandelaar te Sint Petersburg in Tsaristisch Rusland, en Maria Böhm, afkomstig uit een bijzonder muzikale familie. Toen de jonge Cantor elf jaar was, verhuisde het gezin naar Duitsland. Op de middelbare school deed Cantor het prima, vooral in de exacte vakken. Daarom besloot Cantors vader tot een loopbaan als ingenieur voor zijn zoon. Cantor begon aan de Polytechniek in Zurich, maar verzocht zijn vader na een tijdje wiskunde te mogen studeren in Berlijn, een verzoek waarmee zijn vader instemde. Berlijn was toen hèt Duitse wiskundebolwerk.

In zijn Berlijnse jaren studeerde Cantor bij Weierstrass, Kummer en Kronecker en werkte voornamelijk aan getaltheorie. Hij werd eerst wiskundeleraar, maar keerde later terug naar de universiteit, en wel in Halle. Daar wierp hij zich met succes op het probleem hoe je functies als een oneindige som van sinussen en cosinussen (zogenaamde trigonometrische reeksen) kunt voorstellen.

Via deze problemen kwam hij bij vragen over verzamelingen met oneindig veel elementen, waar hij onvermoede nieuwe richtingen insloeg. Zo nieuw dat niet alle collegawiskundigen zijn koers konden waarderen. Als gevolg daarvan werd bijvoorbeeld een terugkeer naar de universiteit in Berlijn tegengehouden.

Cantor stond aan de basis van de oprichting van de Deutsche Mathematiker-Vereinigung (1890), de Duitse beroepsvereniging van wiskundigen, en was haar eerste voorzitter. Ter ere van Cantor, reikt de vereniging elke twee de zogenaamde Georg-Cantor-Medaille uit.

In de loop van zijn leven kreeg Cantor meer en meer te maken met zware depressies, die ook een zware wissel trokken op zijn wiskundige activiteiten. Hij overleed in een inrichting in 1918.

Cantor's verzamelingenleer

Verzamelingen

Cantor bouwde zijn theorie rond het begrip verzameling en wordt gezien als de grondlegger van de verzamelingenleer. Een verzameling bestaat uit objecten, de zogenaamde elementen van de verzameling. Zo kun je spreken van de verzameling van stoelen in een lokaal of van de verzameling gehele getallen. Een verzameling noteer je wel met accolades met de elementen daartussen: $\left\{\mathrm{1,2,3}\right\}$. De volgorde van de elementen is niet van belang. Verzamelingen kun je ook beschrijven met behulp van een definiërende eigenschap, bijvoorbeeld zo:
$\{n|n$ is een geheel getal met $n^2>6\}$.

Verzamelingen met evenveel elementen, oneindige verzamelingen

Een manier om in te zien of twee verzamelingen even veel elementen hebben, is door de elementen van de ene verzameling één op één te 'matchen' met de elementen van de andere verzameling; in vaktaal heet dit een één-op-één correspondentie of bijectief verband (spreek uit: "bi-jectief"). Je hoeft dan niet beide verzamelingen afzonderlijk te tellen en de resultaten te vergelijken. Je kunt denken aan een danspartij waarbij je kunt concluderen dat er evenveel heren als dames zijn als er niemand aan de kant staat. De verzameling $\left\{a,b,c\right\}$ heeft bijvoorbeeld evenveel elementen als $\left\{\mathrm{1,2,3}\right\}$, zoals blijkt door bijvoorbeeld $a$ met $1$ te matchen, $b$ met $2$ en $c$ met $3$.

Cantor nam dit principe als een uitgangspunt in zijn verzamelingenleer: als er een bijectief verband bestaat tussen twee verzamelingen, dan bevatten ze evenveel elementen (in vaktaal: de verzamelingen heten dan gelijkmachtig).

Cantor kon met deze begrippen ook wiskundig precies uitdrukken wat een oneindige verzameling is: hij noemde een verzameling $A$ oneindig als er een matching bestaat van $A$ met een echte deelverzameling van $A$, dat wil zeggen met een verzameling $B$ waarvan alle elementen ook elementen van $A$ zijn, maar die niet alle elementen van $A$ bevat.

Verrassingen: er zijn evenveel gehele getallen als even gehele getallen

De eerste verrassing is nu dat je eenvoudig kunt laten zien dat er net zoveel gehele getallen zijn als even gehele getallen. Match daartoe $0$ met $0$; $1$ met $2$; $2$ met $4$; $3$ met $6$, enzovoort. Dus $A$ match je met $2n$. Ook zijn er evenveel positieve gehele getallen als kwadraten. Zie je in waarom?

De gehele getallen vormen dus een oneindige verzameling omdat er een matching bestaat met de echte deelverzameling van even getallen.

Een verzameling die evenveel elementen bevat als de natuurlijke getallen heet aftelbaar oneindig of kortweg aftelbaar: je kunt zo'n verzameling als het ware aftellen met behulp van de natuurlijke getallen: er is een eerste, een tweede, een derde, enzovoort.

De verzameling breuken is aftelbaar: er zijn evenveel breuken als gehele getallen

Een andere verrassing is dat er evenveel positieve gehele getallen zijn als positieve breuken. Hiertoe zette Cantor de positieve breuken op een bijzondere wijze op een rij. Hij begon met de breuk $\frac{1}{1}$, waarvan teller en noemer samen $2$ zijn. Daarachter zette hij de breuken waarvan teller en noemer samen $3$ zijn: $\frac{2}{1}$, $\frac{1}{2}$. Daarachter zette hij vervolgens de breuken waarvan teller en noemer samen $4$ zijn: $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{3}{1}$. Natuurlijk kun je $\frac{2}{2}$ overslaan, omdat die al in de vorm $\frac{2}{2}$ aan de beurt is geweest. Zo doorgaande zie je dat je elke positieve breuk een keer moet tegenkomen en ontstaat een bijectief verband tussen de positieve gehele getallen en de positieve breuken.

De reële getallen zijn overaftelbaar!

Spectaculair is het resultaat van Cantor dat de reële getallen niet te matchen zijn met de natuurlijke getallen. Blijkbaar vormen de reële getallen een verzameling met een andere graad van oneindigheid dan de natuurlijke getallen. Het is een voorbeeld van een overaftelbare verzameling. Het bewijs dat Cantor voor dit resultaat verzon staat bekend als het diagonaalargument van Cantor.

Om Cantors stelling te begrijpen, beperk je je tot de reële getallen tussen $0$ en $1$ en ga je na dat deze verzameling al niet aftelbaar is. Uitgangspunt in het bewijs is het feit dat elk reëel getal tussen $0$ en $1$ is weer te geven als een oneindig doorlopende decimale ontwikkeling (achter de komma). Een getal als $\mathrm{0,8}$ vervang je daarbij door $\mathrm{0,799999}$... Veronderstel nu dat je de reële getallen tussen $0$ en $1$ wel zou kunnen aftellen. Je kunt ze dan zo op een rij zetten dat er een eerste is, een tweede, enzovoort. In die rij zou elk reëel getal tussen $0$ en $1$ moeten voorkomen. Cantor liet op listige wijze zien dat je in zo'n rij altijd getallen gemist moet hebben. Zijn gedachtengang is als verder als volgt. Hij start met een aftelling:

• $1$ is daarbij gekoppeld aan $\mathrm{0,}{a}_{11}{a}_{12}{a}_{13}\mathrm{...}$
• $2$ is gekoppeld aan $\mathrm{0,}{a}_{21}{a}_{22}{a}_{23}\mathrm{...}$
• Het getal $n$ is gekoppeld aan $\mathrm{0,}{a}_{n1}{a}_{n2}{a}_{n3}\mathrm{...}$

Hierin stellen de getallen $a_{11}$, $a_{12}$, enzovoort, decimalen voor. Cantor construeert zo een reëel getal tussen $0$ en $1$ dat gegarandeerd niet voorkomt in deze rij. Voor de $n$-de decimaal $x_n$ van dit getal nam Cantor een getal dat verschilt van de $n$-de decimaal van het $n$-de reële getal in de rij. Je zou bijvoorbeeld $x_n$ gelijk aan $1$ kunnen maken als de $n$-de decimaal van het $n$-de getal niet gelijk is aan $1$ en gelijk aan $2$ als die decimaal wel gelijk is aan $1$.
Waarom kan dit getal niet voorkomen in de rij?
Het kan niet op de eerste plaats staan van de rij omdat de eerste decimaal van het nieuwe getal verschilt van $a_{11}$, de eerste decimaal van het eerste getal uit de rij. Het kan niet op de honderdste plaats staan omdat de honderdste decimaal ervan verschilt van de honderdste decimaal van het honderdste getal uit de rij. Algemener: het kan niet op de $n$-de plaats voorkomen in de rij omdat de $n$-de decimaal verschilt van de $n$-de decimaal van het getal op de $n$-de plaats. Kortom, dit nieuwe reële getal kan nergens voorkomen in de rij! Hoe de rij ook geconstrueerd is, Cantors constructie laat zien dat je altijd minstens een getal gemist hebt. (Zo'n gemist getal ergens in de rij invoegen helpt niet, weet je waarom niet?)

De continuümhypothese

Naar aanleiding van zijn resultaten wierp Cantor de vraag op of er verzamelingen bestaan die qua graad van oneindigheid (men spreekt van cardinaliteit) inzitten tussen de cardinaliteit van de natuurlijke getallen en die van de reële getallen. Hij vermoedde van niet en dat vermoeden staat bekend onder de naam continuëmhypothese. Op deze vraag blijkt niet zo maar een simpel 'ja' of 'nee' mogelijk. Het probleem vereist een een veel diepere studie van de grondslagen van de wiskunde met allerlei verrassingen.

Het begrip dimensie

Tegenintuïtief is ook Cantors resultaat dat de getallenrechte gelijkmachtig is met het vlak en ook met de ruimte. Dit leek in strijd met het vertrouwde dimensiebegrip. Men realiseerde zich dat voor het dimensiebegrip continuïteit een essentiële rol speelt. Bij Cantors beschouwingen had dat begrip nu juist geen rol gespeeld.

Ander verwant werk van Cantor: een constructie van de reële getallen

Tot in de tijd van Cantor werkte men wel met reële getallen, maar was de vraag wat reële getallen nu eigenlijk precies zijn, nooit bevredigend beantwoord. Cantor wist op een wiskundig preciese manier reële getallen te definieren als limieten van rijtjes rationale getallen. Zijn vriend en collegawiskundige Dedekind bedacht in dezelfde tijd nog een andere manier om reële getallen wiskundig precies te introduceren, met de naar hem genoemde sneden van Dedekind. Beide constructies behoren nu tot de standaardbagage in het vakgebied Analyse waar men functies bestudeert.

---

 Math4all    auteur: Hans Sterk