Beroemde wiskundigen

Heroon (omstreeks 10 - omstreeks 75 na Chr., vaak ook Hero genoemd) was een Grieks ingenieur vermoedelijk uit Alexandrië, die leefde in de eerste eeuw na Chr. Heroon is vooral beroemd geworden om zijn beschrijving van uitvindingen en technische rekenmethodieken. Over zijn leven is vrijwel niets bekend. Een behoorlijk deel van zijn geschriften is via vertalingen en commentaren overgeleverd. Het gaat daarbij om boeken die eeuwen lang als handleidingen bij allerlei berekeningen werden gebruikt in de gehele Romeinse, Byzantijnse en Arabische beschaving.
Als wiskundige is hij vooral bekend vanwege zijn formule voor het verband tussen de (halve) omtrek en de oppervlakte van een driehoek. Erg handig als je van een driehoek alleen nauwkeurig de zijden kunt bepalen, zoals in de landmeetkunde vaak het geval is. Heroon was dan ook een belangrijke grondlegger van de landmeetkunde. Tenslotte is hij een goed onderlegde en soms ingenieuze toegepast wiskundige en als zodanig een belangrijke schakel tussen de Oud Griekse en Babylonische wiskunde en de latere Hindoe-Arabische wiskunde.

» Meer over Heroon
» De tijd van Heroon
» Het werk van Heroon

Links naar anderstalige sites:
» Over Heroon

De tijd van Heroon

Heroon leefde in de tijd van de grote Romeinse keizer Augustus (tot 14 na Chr.) en zijn opvolgers Tiberius, Caligula, Claudius I, Nero en Vespasianus. Augustus' lange regeerperiode had gezorgd voor een stabiel Romeins Rijk rondom de gehele Middellandse Zee. Alexandrië was als belangrijkste stad uit de nadagen van de Oudgriekse beschaving ook in de tijd van de Romeinen een belangrijk centrum van wetenschap en cultuur. Geen wonder dan ook dat daar veel kennis in handboeken en leerboeken bewaard bleef. De boekdrukkunst kende men in die dagen niet, dus de boeken bleven bewaard door overschrijven. De overschrijver voegde er vervolgens vaak eigen kennis (via commentaren en aanvullingen) aan toe, zodat de oorspronkelijke tekst steeds verder verlaten werd. Vaak is ook niet meer echt te achterhalen wie nu de oorspronkelijke schrijver was, maar in ieder geval is nauwelijks diens tekst van de rest te onderscheiden. Vertalingen van het Grieks in het Latijn, of zelfs via het Arabisch in het Latijn maakte dit alleen maar nog ondoorzichtiger.
Wel blijkt dat Heroon een grote reputatie als schrijver van handleidingen genoot, ook al is niet meer goed vast te stellen wat hij nu echt zelf heeft geschreven. Zijn werken zijn overgeleverd vanuit het Romeinse Rijk, later het Oost-Romeinse, het Byzantijnse Rijk en vaak via de Arabische beschaving naar West-Europa in de tijd vlak na de kruistochten.

Over Heroon

Heroon (soms ook wel Hero) van Alexandrië was een belangrijke meetkundige en mechanicus die leefde in de eerste eeuw na Christus. Dat laatste is gebaseerd op de ontdekking dat hij melding maakte van een zonsverduistering die plaats lijkt te hebben gevonden in Alexandrië op 13 maart 62. De data van zijn geboorte (ongeveer 10 na Christus) en zijn dood (ongeveer 75 na Christus) zijn in hoge mate daarop gebaseerd. Over zijn leven is vrijwel niets bekend.
Uit zijn geschriften is op te maken dat hij les gaf aan het Museon in Alexandrië. Zijn werken lijken op lesvoorbereidingen voor cursussen op het gebied van wiskunde, natuurkunde, mechanica en pneumatica (de kennis van appraten die op luchtdruk werken).

De wiskundige Pappos (die einde van de derde eeuw na Chr. leefde en veel van de Oudgriekse wiskunde opschreef, becommentarieerde en verduidelijkte) schreef over Heroon in boek VIII van zijn "Synagoge", een verzameling van alle toentertijd bekende wiskunde. Hij meldt:
De mechanici van de school van Heroon kunnen worden verdeeld in een theoretici en handwerkers: de theoretici houden zich bezig met meetkunde, rekenkunde, sterrenkunde en natuurkunde; de handwerkers met metaalbewerking, architectuur, timmerwerk en schilderwerk, kortom alle handwerk.
... de Oude Grieken omschrijven mechanici als mensen die wonderen verrichten, sommige door middel van luchtdruk (zoals Heroon beschrijft in zijn "Pneumatica"), anderen door middel van veren en touwen waarmee ze de bewegingen van dieren proberen te imiteren (zoals Heroon beschrijft in zijn "Automata"), en weer anderen door water te gebruiken voor de tijdrekening (zoals Heroon beschrijft in zijn "Hydria").

Veel van Heroon's werken zijn aan ons overgeleverd, maar meestal via vertalingen en interpretaties. Het gaat daarbij vooral om handzame werken over techniek, mechanica, wiskunde en landmeetkunde die in de Byzantijnse, de Romeinse en de Arabische beschavingen eeuwen lang volop werden gebruikt als handleidingen. Van een aantal daarvan is echter niet zeker of ze wel echt door hem zijn geschreven. Op het gebied van de wiskunde is hij vooral bekend geworden met zijn formule:

Voor de oppervlakte $A$ van een driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ geldt:
$A = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$

Deze formule is erg handig in de landmeetkunde. Daar wordt namelijk veel gewerkt met een compleet net van driehoeken waarvan de zijden (de afstanden tussen de hoekpunten) zijn gemeten. Van zo'n driehoek kun je met de formule van Heroon gemakkelijk de oppervlakte bepalen.

Heroon's belangrijkste werk

Heroon's belangrijkste werken op het gebied van de wiskunde zijn:

De Dioptra, een boek over landmeetkunde en het gebruik van de theodoliet (een meetinstrument). Hij beschrijft daarin onder andere een manier om de afstand tussen Rome en Alexandrië te bepalen gebaseerd op het tijdsverschil tussen het waarnemen van een maansverduistering in beide plaatsen.

De Metrica, drie boeken over methoden van meten en berekenen van oppervlakte.
Boek I gaat vooral over oppervlakteberekening van driehoeken, vierhoeken, regelmatige veelhoeken, maar ook kegels, cilinders, piramides en prisma's. Zijn beroemde formule voor de oppervlakte van een driehoek vanuit de lengtes van de zijden staat er in. Verder beschrijft hij een methode om de wortel van een getal te benaderen (een methode die overigens ook al 2000 jaar eerder door de Babyloniërs werd gebruikt):

Neem het getal $720$ . Dit is niet het kwadraat van een rationaal getal, dus de wortel uit $720$ is alleen te benaderen. Het dichtstbijzijnde kwadraat is $729 = 27^{2}$ .
Deel nu $720$ door $27$ , je vindt: $26 \frac{2}{3}$ .
Samen met $27$ krijg je $53 \frac{2}{3}$ .
Als je dit getal halveert krijg je een eerste benadering van de wortel uit $720$ , namelijk $26 \frac{5}{6}$ .
Deze benadering is al redelijk nauwkeurig, er is maar $\frac{1}{36}$ verschil met $720$ .

Als je nu $720$ deelt door van $26 \frac{5}{6}$ en je herhaalt de beschreven methode, vind je een benadering die nog weer veel nauwkeuriger is. En zo kun je door gaan...

Boek II gaat over het berekenen van het volume van bollen, cilinders, kegels, prisma's en piramides. Dit werk grijpt veel terug op het werk van Archimedes, zoals ook in het voorwoord wordt vermeld.
Boek III tenslotte gaat in op het verdelen van oppervlaktes en inhouden volgens een bepaalde verhouding. Veel van dit werk lijkt op werk van Euklides. Ook geeft Heroon in dit boek een manier om de derdemachtswortel uit een getal

N

te benaderen, die in moderne notatie kan worden geschreven als

a + b d / (b d + a D) \cdot (b - a)

, waarin

a^{3} < N < b^{3}

d = N - a^{3}

D = b^{3} - N

.
Deze formule is behoorlijk nauwkeurig, de derdemachtswortel uit

10

wordt

2,15

en dat is correct tot op twee decimalen nauwkeurig. Het is echter wel de vraag of Heroon deze formule zelf heeft gevonden, wellicht kende hij hem uit andere bron.

Er bestaan nog verschillende andere titels ("Geometrica", "Stereometrica", "Mensurae") die over vergelijkbare onderwerpen gaan. Dit lijken vaak bewerkingen door latere auteurs van de "Metrica" van Heroon te zijn.
Ook schreef Heroon boeken die meer natuurkundige onderwerpen beslaan, zoals:

De Pneumatica, twee boeken over mechanische apparaten gebaseerd op luchtdruk, stoom of waterdruk. Het bestaat uit twee delen, het eerste met 43 en het tweede met 37 hoofdstukken. Heroon begint met een theoretische beschouwing van de druk in vloeistoffen. Veel van die theorie is (met de huidige inzichten) niet correct, maar veel ook wel. Daarna beschrijft hij de werking van diverse mechanische speeltjes, zoals zingende mechanische vogeltjes, klinkende trompetten, een eenvoudige stoommachine. Vermoedelijk waren deze bedoeld als voorbeelden bij natuurkundelessen om het vak aansprekender te maken.
De Automaton die een geheel mechinisch poppentheater beschrijft.
De Belopoeica waarin werd beschreven hoe je oorlogstuig kon maken.
De Mechanica die grotendeels is gebaseerd op werk van Archimedes. Het boek bestaat uit drie delen:
Het eerste deel gaat over de constructie van vergrotingen of verkleiningen van driedimensionale objecten en over de beweging van voorwerpen en over de theorie van krachten op stilstaande voorwerpen.
In het tweede deel wordt het verplaatsen van zware objecten met behulp van een hefboom, een katrol, een wig of een schroef besproken. Verder gaat het in dit deel om het centrum van zwaartekracht van diverse objecten.
In deel drie bespreekt Heroon het transport van voorwerpen met behulp van een slee of een kraan. Ook schrijft hij daarin over wijnpersen.
In Catoprica vertelt Heroon zijn theorie over het licht. Hij gaat uit van lichtstralen die door het oog worden uitgezonden en die met oneindige snelheid voortbewegen.

Er zijn nog veel meer boeken die wel aan Heroon worden toegeschreven via verwijzingen naar deze boeken door andere auteurs. Vaak bestaan ze niet meer of bestaan er slechts fragmenten van.

Math4all