» De tijd van Al-Khwarizmi » Het leven van Al-Khwarizmi » Hisab al-jabr w'al muqabala
Na zijn dood in 809 vochten zijn zoons al-Amin en al-Mamun om het kalifaat. Al-Mamun won de strijd en werd kalief in 813. Hij zette de politiek van het stimuleren van de wetenschap voort en stichtte een 'Huis der wijsheid' waarin hij oude Griekse wetenschappelijke en filosofische teksten liet vertalen. Hij bouwde een bibliotheek en diverse observatoria voor de Arabische astronomen, die konden voortborduren op de kennis van de oude Grieken, de oude Egyptenaren, de Romeinen, maar ook van de oude Babyloniërs.
570 - 632: De profeet Mohammed, stichter van de Islam in 622. 786 - 809: Harun al-Rashid kalief van Baghdad 813 - 833: Al-Mamun kalief van Baghdad. 833 - 842: Al-Mutassim kalief van Baghdad.
Over Al-Khwarizimi Er is weinig bekend over het leven van Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Hij werd omstreeks 780 na Chr. geboren ergens in het gebied tussen de Eufraat en de Tigris. Al-Khwarizmi werd één der geleerden in het "Huis der wijsheid" in Baghdad. Hun taak bestond uit het vertalen van Griekse wetenschappelijke geschriften en het bestuderen en verder ontwikkelen van de algebra, de meetkunde en de astronomie. Zij stonden onder het directe gezag van de kalief al-Mamun. Al-Khwarizmi droeg een tekst over algebra en een tekst over astronomie op aan deze kalief. De verhandeling over algebra heette "Hisab al-jabr w'al-muqabala" en is het bekendste werk van al-Khwarizmi. Het woord algebra is uit de titel van dit geschrift ontstaan (latere West-Europese vertalers wisten geen raad met 'al-jabr' en maakten daar 'algebra' van). In feite is dit boek op te vatten als het eerste echte werk over algebra. Al-Khwarizmi wilde ermee duidelijk maken hoe je rekenkundige methoden kunt toepassen bij zulke uiteenlopende zaken als erfenissen verdelen, handel, het meten van landerijen, het graven van kanalen, meetkundige berekeningen, en dergelijke. Het ging er hem dus om alledaagse problemen in de Islamitische maatschappij van die dagen. Al snel kwam hij daarbij op wat wij tegenwoordig 'vergelijkingen' noemen. En een groot deel van het boek gaat over het oplossen ervan. Al-Khwarizmi's algebra ging over het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen met één onbekende en het 'uitwerken van haakjes' zoals wij dat tegenwoordig noemen. Hij gebruikte geen symbolen (geen letters voor variabelen, geen plusteken, geen minteken, etc.), hij omschreef alles in woorden. Daarom is zijn algebra voor de huidige wiskundige ook moeilijk te lezen. Zijn bewijzen zijn vaak met behulp van tekeningen ondersteund en leunen dus sterk op de in die tijd bekende meetkundige methoden. Sommige meetkundige bewijzen van zijn methoden en stellingen lijken er op te wijzen dat al-Khwarizmi bekend was met de Griekse wiskunde uit "De elementen" van Euklides. Toch gebruikte hij niet de strenge bewijsmethoden met nauwkeurige definities, axioma's en stellingen zoals Euklides dat deed. Al-Khwarizmi schreef ook over de Hindoe-Arabische cijfers, waarin hij het positiestelsel van de Hindoe's beschrijft dat is gebaseerd op symbolen voor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en ook voor 0. De Arabische versie van dit werk is verloren gegaan. Het eerste gebruik van de 0 in het positiestelsel is waarschijnlijk afkomstig van al-Khwarizmi. Verder gaat het in dit geschrift over rekenkunde, onder andere over een methode voor het berekenen van vierkantswortels. Een andere belangrijk geschrift van al-Khwarizmi was "Sindhind zij", een boek over astronomie vooral gebaseerd op werk van Indische astronomen en niet zozeer op het werk van de Griek Ptolemaios. Een kortere versie van het boek is via een kritische heruitgave door al-Majriti in de tiende eeuw bewaard gebleven. Het gaat vooral over het berekenen van kalenders, de posities van de zon, de maan en de planeten, tabellen voor sinus en tangens en allerlei astrologische tabellen. (Deze Maankalender is een modern voorbeeld.) Tenslotte schreef al-Khwarizmi een boek over geografie, waarin hij de lengte en de breedte geeft van zo'n 2400 plaatsen als basis voor een wereldkaart. Dit boek is wel gebaseerd op Ptolemaios' werk op dit terrein. De kaarten erin zijn nauwkeuriger dan die van Ptolemaios, met name voor gebieden waarover al-Khwarizimi over meer gegevens kon beschikken dan Ptolemaios. In zijn tijd was al-Khwarizmi de grootste wiskundige. Hij schreef voor het eerst over algebra (het oplossen van eenvoudige vergelijkingen) en over het positiestelsel zoals wij dat nu nog kennen. Al-Khwarizmi stierf omstreeks 850. Hisab al-jabr w'al-muqabala Dit is de titel van het eerste boek over algebra, de naam 'algebra' is ontstaan uit een verbastering van het woord al-jabr uit de titel door vertalers in het Latijn. Het boek was bedoeld als een uitleg van rekenmethoden voor veel praktische zaken in de Arabische maatschappij. Al-Khwarizmi begint met het uitleggen wat natuurlijke getallen zijn, waarin hij uitgaat van de 1 als eenheid en zo de getallen 1, 2, 3, ... beschrijft. Daarna introduceert al-Khwarizmi het belangrijkste onderwerp uit het eerste deel van dit boek, namelijk het het oplossen van vergelijkingen. Zijn vergelijkingen kennen slechts één onbekende en verder zijn ze lineair of kwadratisch, of er komen wortels in voor. Letters voor variabelen en symbolen voor plus, min, keer, gedeeld door, wortel, kwadraat gebruikte al-Khwarizmi niet, die kende men toen nog niet. Alle vergelijkingen werden in woorden beschreven. Al-Khwarizmi kende het getal, de 'wortel' als een onbekende en het 'kwadraat' als het kwadraat van de onbekende, de oppervlakte van een vierkant waarvan die onbekende de zijde voorstelt. Hij herleidt elke vergelijking tot één van de volgende zes standaardvormen: Kwadraat gelijk aan wortel. Kwadraat gelijk aan getal. Wortel gelijk aan getal. Kwadraten en wortels gelijk aan getal (b.v. 3x2 + 10x = 25). Kwadraten en getallen gelijk aan wortels (b.v. 3x2 + 10 = 25x). Wortels en getallen gelijk aan kwadraten (b.v. 3x + 10 = 25x2). De oplossing van een vergelijking gebeurt door twee operaties, namelijk 'al-jabr' en 'al-muqabala'. Onder 'al-jabr' verstaat al-Khwarizmi het wegwerken van aftrekkingen, bijvoorbeeld wordt door 'al-jabr' de vergelijking x2 = 3x – 4x2 herleid tot: 5x2 = 3x. Onder 'al-muqabala' verstaat al-Khwarizmi onze 'balansmethode' waarbij aan beide zijden van de vergelijking hetzelfde kan worden opgeteld en afgetrokken. Met behulp van deze twee technieken kan al-Khwarizmi elke vergelijking herleiden tot één van de zes genoemde vormen. Hij laat vervolgens zien, hoe die zes vormen kunnen worden opgelost. Een voorbeeld: Een kwadraat en 10 wortels is gelijk aan 39 eenheden. Het gaat er nu om het kwadraat te vinden dat met tien van zijn wortels samen tot 39 optelt. Je neemt daarvoor de helft van de 10 wortels, dat zijn er 5. Het kwadraat van 5 is 25 en samen met 39 telt dat op tot 64. Nu is de wortel van 64 gelijk aan 8 en dat geeft afgetrokken van de 5 wortels het getal 3. Het getal 3 stelt nu de wortel voor en het gezochte kwadraat is dus 9. Al-Khwarizmi levert vervolgens een meetkundig bewijs van de juistheid van deze methode: hij begint met een vierkant met zijde x en legt daar twee rechthoeken met zijden x en 10/2 = 5 bij aan. (Voer de animatie uit!) De totale oppervlakte van de figuur is dan 39. Hij maakt de figuur 'af' tot een vierkant door er een vierkantje van 5 bij 5 bij aan te leggen. De totale oppervlakte van het vierkant is dan 64, de zijde is dus 8. Omdat de rechthoekjes samen 5 breed zijn, is de onbekende x = 3. Je ziet dat al-Khwarizmi meetkundige methoden gebruikte, waarschijnlijk gebaseerd op 'De elementen' van Euclides, maar meer nog op de Hebreeuwse tekst "Mishnat ha Middot" een meetkundeboek uit ongeveer 150 na Chr. Hij liet bijvoorbeeld meetkundig zien hoe haakjes kunnen worden uitgewerkt in uitdrukkingen als (a + bx)(c + dx). Tegenwoordig vinden we al-Khwarizmi's methoden nogal omslachtig, omdat we met symbolen hebben leren rekenen. Maar vergeet niet, dat onze moderne notaties toen nog niet bestonden. Alles werd in woorden uitgelegd en met meetkundige figuren geïllustreerd. Een echte nauwkeurige bewijsopbouw zoals Euklides die in zijn boeken hanteerde met zorgvuldige definities en axioma's gebruikte al-Khwarizmi weliswaar niet, maar toch vormt dit boek de eerste echte tekst waarin de opbouw van algebra centraal stond. Het volgende deel van "Hisab al-jabr w'al muqabala" bestaat uit toepassingen en uitgewerkte voorbeelden. Vervolgens worden er methoden bekeken om de oppervlakte van vlakke figuren (zoals de cirkel) en de inhoud van lichamen (zoals bol, kegel en piramide) te bepalen. Al-Khwarizmi eindigt met de ingewikkelde erfelijkheidskwesties die de Arabische wereld in die tijd kende. Daarbij gaat het echter niet meer over vergelijkingen, maar over verdeelproblemen. Math4all
Al-Khwarizmi werd één der geleerden in het "Huis der wijsheid" in Baghdad. Hun taak bestond uit het vertalen van Griekse wetenschappelijke geschriften en het bestuderen en verder ontwikkelen van de algebra, de meetkunde en de astronomie. Zij stonden onder het directe gezag van de kalief al-Mamun. Al-Khwarizmi droeg een tekst over algebra en een tekst over astronomie op aan deze kalief.
De verhandeling over algebra heette "Hisab al-jabr w'al-muqabala" en is het bekendste werk van al-Khwarizmi. Het woord algebra is uit de titel van dit geschrift ontstaan (latere West-Europese vertalers wisten geen raad met 'al-jabr' en maakten daar 'algebra' van). In feite is dit boek op te vatten als het eerste echte werk over algebra. Al-Khwarizmi wilde ermee duidelijk maken hoe je rekenkundige methoden kunt toepassen bij zulke uiteenlopende zaken als erfenissen verdelen, handel, het meten van landerijen, het graven van kanalen, meetkundige berekeningen, en dergelijke. Het ging er hem dus om alledaagse problemen in de Islamitische maatschappij van die dagen. Al snel kwam hij daarbij op wat wij tegenwoordig 'vergelijkingen' noemen. En een groot deel van het boek gaat over het oplossen ervan.
Al-Khwarizmi's algebra ging over het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen met één onbekende en het 'uitwerken van haakjes' zoals wij dat tegenwoordig noemen. Hij gebruikte geen symbolen (geen letters voor variabelen, geen plusteken, geen minteken, etc.), hij omschreef alles in woorden. Daarom is zijn algebra voor de huidige wiskundige ook moeilijk te lezen. Zijn bewijzen zijn vaak met behulp van tekeningen ondersteund en leunen dus sterk op de in die tijd bekende meetkundige methoden. Sommige meetkundige bewijzen van zijn methoden en stellingen lijken er op te wijzen dat al-Khwarizmi bekend was met de Griekse wiskunde uit "De elementen" van Euklides. Toch gebruikte hij niet de strenge bewijsmethoden met nauwkeurige definities, axioma's en stellingen zoals Euklides dat deed.
Al-Khwarizmi schreef ook over de Hindoe-Arabische cijfers, waarin hij het positiestelsel van de Hindoe's beschrijft dat is gebaseerd op symbolen voor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en ook voor 0. De Arabische versie van dit werk is verloren gegaan. Het eerste gebruik van de 0 in het positiestelsel is waarschijnlijk afkomstig van al-Khwarizmi. Verder gaat het in dit geschrift over rekenkunde, onder andere over een methode voor het berekenen van vierkantswortels.
Een andere belangrijk geschrift van al-Khwarizmi was "Sindhind zij", een boek over astronomie vooral gebaseerd op werk van Indische astronomen en niet zozeer op het werk van de Griek Ptolemaios. Een kortere versie van het boek is via een kritische heruitgave door al-Majriti in de tiende eeuw bewaard gebleven. Het gaat vooral over het berekenen van kalenders, de posities van de zon, de maan en de planeten, tabellen voor sinus en tangens en allerlei astrologische tabellen. (Deze Maankalender is een modern voorbeeld.)
Tenslotte schreef al-Khwarizmi een boek over geografie, waarin hij de lengte en de breedte geeft van zo'n 2400 plaatsen als basis voor een wereldkaart. Dit boek is wel gebaseerd op Ptolemaios' werk op dit terrein. De kaarten erin zijn nauwkeuriger dan die van Ptolemaios, met name voor gebieden waarover al-Khwarizimi over meer gegevens kon beschikken dan Ptolemaios.
In zijn tijd was al-Khwarizmi de grootste wiskundige. Hij schreef voor het eerst over algebra (het oplossen van eenvoudige vergelijkingen) en over het positiestelsel zoals wij dat nu nog kennen. Al-Khwarizmi stierf omstreeks 850.
Hisab al-jabr w'al-muqabala Dit is de titel van het eerste boek over algebra, de naam 'algebra' is ontstaan uit een verbastering van het woord al-jabr uit de titel door vertalers in het Latijn. Het boek was bedoeld als een uitleg van rekenmethoden voor veel praktische zaken in de Arabische maatschappij. Al-Khwarizmi begint met het uitleggen wat natuurlijke getallen zijn, waarin hij uitgaat van de 1 als eenheid en zo de getallen 1, 2, 3, ... beschrijft. Daarna introduceert al-Khwarizmi het belangrijkste onderwerp uit het eerste deel van dit boek, namelijk het het oplossen van vergelijkingen. Zijn vergelijkingen kennen slechts één onbekende en verder zijn ze lineair of kwadratisch, of er komen wortels in voor. Letters voor variabelen en symbolen voor plus, min, keer, gedeeld door, wortel, kwadraat gebruikte al-Khwarizmi niet, die kende men toen nog niet. Alle vergelijkingen werden in woorden beschreven. Al-Khwarizmi kende het getal, de 'wortel' als een onbekende en het 'kwadraat' als het kwadraat van de onbekende, de oppervlakte van een vierkant waarvan die onbekende de zijde voorstelt. Hij herleidt elke vergelijking tot één van de volgende zes standaardvormen: Kwadraat gelijk aan wortel. Kwadraat gelijk aan getal. Wortel gelijk aan getal. Kwadraten en wortels gelijk aan getal (b.v. 3x2 + 10x = 25). Kwadraten en getallen gelijk aan wortels (b.v. 3x2 + 10 = 25x). Wortels en getallen gelijk aan kwadraten (b.v. 3x + 10 = 25x2). De oplossing van een vergelijking gebeurt door twee operaties, namelijk 'al-jabr' en 'al-muqabala'. Onder 'al-jabr' verstaat al-Khwarizmi het wegwerken van aftrekkingen, bijvoorbeeld wordt door 'al-jabr' de vergelijking x2 = 3x – 4x2 herleid tot: 5x2 = 3x. Onder 'al-muqabala' verstaat al-Khwarizmi onze 'balansmethode' waarbij aan beide zijden van de vergelijking hetzelfde kan worden opgeteld en afgetrokken. Met behulp van deze twee technieken kan al-Khwarizmi elke vergelijking herleiden tot één van de zes genoemde vormen. Hij laat vervolgens zien, hoe die zes vormen kunnen worden opgelost. Een voorbeeld: Een kwadraat en 10 wortels is gelijk aan 39 eenheden. Het gaat er nu om het kwadraat te vinden dat met tien van zijn wortels samen tot 39 optelt. Je neemt daarvoor de helft van de 10 wortels, dat zijn er 5. Het kwadraat van 5 is 25 en samen met 39 telt dat op tot 64. Nu is de wortel van 64 gelijk aan 8 en dat geeft afgetrokken van de 5 wortels het getal 3. Het getal 3 stelt nu de wortel voor en het gezochte kwadraat is dus 9. Al-Khwarizmi levert vervolgens een meetkundig bewijs van de juistheid van deze methode: hij begint met een vierkant met zijde x en legt daar twee rechthoeken met zijden x en 10/2 = 5 bij aan. (Voer de animatie uit!) De totale oppervlakte van de figuur is dan 39. Hij maakt de figuur 'af' tot een vierkant door er een vierkantje van 5 bij 5 bij aan te leggen. De totale oppervlakte van het vierkant is dan 64, de zijde is dus 8. Omdat de rechthoekjes samen 5 breed zijn, is de onbekende x = 3. Je ziet dat al-Khwarizmi meetkundige methoden gebruikte, waarschijnlijk gebaseerd op 'De elementen' van Euclides, maar meer nog op de Hebreeuwse tekst "Mishnat ha Middot" een meetkundeboek uit ongeveer 150 na Chr. Hij liet bijvoorbeeld meetkundig zien hoe haakjes kunnen worden uitgewerkt in uitdrukkingen als (a + bx)(c + dx). Tegenwoordig vinden we al-Khwarizmi's methoden nogal omslachtig, omdat we met symbolen hebben leren rekenen. Maar vergeet niet, dat onze moderne notaties toen nog niet bestonden. Alles werd in woorden uitgelegd en met meetkundige figuren geïllustreerd. Een echte nauwkeurige bewijsopbouw zoals Euklides die in zijn boeken hanteerde met zorgvuldige definities en axioma's gebruikte al-Khwarizmi weliswaar niet, maar toch vormt dit boek de eerste echte tekst waarin de opbouw van algebra centraal stond. Het volgende deel van "Hisab al-jabr w'al muqabala" bestaat uit toepassingen en uitgewerkte voorbeelden. Vervolgens worden er methoden bekeken om de oppervlakte van vlakke figuren (zoals de cirkel) en de inhoud van lichamen (zoals bol, kegel en piramide) te bepalen. Al-Khwarizmi eindigt met de ingewikkelde erfelijkheidskwesties die de Arabische wereld in die tijd kende. Daarbij gaat het echter niet meer over vergelijkingen, maar over verdeelproblemen. Math4all
Al-Khwarizmi begint met het uitleggen wat natuurlijke getallen zijn, waarin hij uitgaat van de 1 als eenheid en zo de getallen 1, 2, 3, ... beschrijft. Daarna introduceert al-Khwarizmi het belangrijkste onderwerp uit het eerste deel van dit boek, namelijk het het oplossen van vergelijkingen. Zijn vergelijkingen kennen slechts één onbekende en verder zijn ze lineair of kwadratisch, of er komen wortels in voor. Letters voor variabelen en symbolen voor plus, min, keer, gedeeld door, wortel, kwadraat gebruikte al-Khwarizmi niet, die kende men toen nog niet. Alle vergelijkingen werden in woorden beschreven. Al-Khwarizmi kende het getal, de 'wortel' als een onbekende en het 'kwadraat' als het kwadraat van de onbekende, de oppervlakte van een vierkant waarvan die onbekende de zijde voorstelt. Hij herleidt elke vergelijking tot één van de volgende zes standaardvormen:
Met behulp van deze twee technieken kan al-Khwarizmi elke vergelijking herleiden tot één van de zes genoemde vormen. Hij laat vervolgens zien, hoe die zes vormen kunnen worden opgelost. Een voorbeeld:
Al-Khwarizmi levert vervolgens een meetkundig bewijs van de juistheid van deze methode: hij begint met een vierkant met zijde x en legt daar twee rechthoeken met zijden x en 10/2 = 5 bij aan. (Voer de animatie uit!) De totale oppervlakte van de figuur is dan 39. Hij maakt de figuur 'af' tot een vierkant door er een vierkantje van 5 bij 5 bij aan te leggen. De totale oppervlakte van het vierkant is dan 64, de zijde is dus 8. Omdat de rechthoekjes samen 5 breed zijn, is de onbekende x = 3.
Je ziet dat al-Khwarizmi meetkundige methoden gebruikte, waarschijnlijk gebaseerd op 'De elementen' van Euclides, maar meer nog op de Hebreeuwse tekst "Mishnat ha Middot" een meetkundeboek uit ongeveer 150 na Chr. Hij liet bijvoorbeeld meetkundig zien hoe haakjes kunnen worden uitgewerkt in uitdrukkingen als (a + bx)(c + dx).
Tegenwoordig vinden we al-Khwarizmi's methoden nogal omslachtig, omdat we met symbolen hebben leren rekenen. Maar vergeet niet, dat onze moderne notaties toen nog niet bestonden. Alles werd in woorden uitgelegd en met meetkundige figuren geïllustreerd. Een echte nauwkeurige bewijsopbouw zoals Euklides die in zijn boeken hanteerde met zorgvuldige definities en axioma's gebruikte al-Khwarizmi weliswaar niet, maar toch vormt dit boek de eerste echte tekst waarin de opbouw van algebra centraal stond.
Het volgende deel van "Hisab al-jabr w'al muqabala" bestaat uit toepassingen en uitgewerkte voorbeelden. Vervolgens worden er methoden bekeken om de oppervlakte van vlakke figuren (zoals de cirkel) en de inhoud van lichamen (zoals bol, kegel en piramide) te bepalen. Al-Khwarizmi eindigt met de ingewikkelde erfelijkheidskwesties die de Arabische wereld in die tijd kende. Daarbij gaat het echter niet meer over vergelijkingen, maar over verdeelproblemen.
Math4all
