Getallen om te tellen

Getallen zijn ontstaan door de behoefte om te tellen.
Eeuwenlang waren er dan ook geen andere dan 1,2,3,4,5,...
En vaak ging die rij niet erg ver door.
Andere getallen waren eeuwenlang onvoorstelbaar...

Inhoud:

De natuurlijke getallen

Deze natuurlijke getallen zijn de getallen waarmee je hebt leren tellen. Eeuwenlang was dat genoeg: andere getallen bestonden niet. Het getal 0 wat voor ons toch redelijk normaal is geworden, was overbodig: 0 was niks. En voor iets dat er niet is heb je geen getal nodig!

Dat had veel te maken met de manier waarop getallen werden geschreven. In het meest simpele systeem gewoon zoveel streepjes, krasjes, of andere vormpjes als het getal groot was. Vaak was er dan voor 5 of 10 een afzonderlijk teken, net als 100 en soms zelfs 1000.

Tot in de dagen van de Grieken en de Romeinen waren dit de enige getallen.
De Grieken noteerden ze met behulp van de letters van hun alfabet, ze hadden eigenlijk geen afzonderlijke tekens voor getallen.
De Romeinen gebruikten de bekende Romeinse getallen I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, etc. Voor 50 gebruikten ze de L, voor honderd de C en voor duizend de M.
Pas veel later, toen er positiestelsels ontstonden en getallen werden opgebouwd uit cijfers waarvan de positie de waarde bepaalde, werd de 0 bedacht. Vanaf dat moment hoorde ook de 0 bij de natuurlijke getallen. Het gebruik van een positiestelsel vergemakkelijkt het rekenen, vooral het vermenigvuldigen en het delen.

De verzameling van de natuurlijke getallen noteer je zo:


Het tientallig stelsel is een positiestelsel

Bij een positiestelsel zijn de getallen opgebouwd uit cijfers. De positie van het cijfer bepaalt zijn waarde.
Als je een getal als 16.372 opschrijft, dan bedoel je daarmee het totaal van de getallen:

1 tienduizendtal = 1 · 10.000 = 1 · 104
6 duizendtallen = 6 · 1000 = 6 · 103
3 honderdtallen = 3 · 100 = 3 · 102
7 tientallen = 7 · 10 = 7 · 101
2 eenheden = 2 · 1 = 2 · 100

Je ziet dat elk cijfer in dit getal een macht van 10 voorstelt.
Deze manier van weergeven van het getal 16.372 heet het tientallig stelsel, of ook wel het decimale stelsel. De decimale komma scheidt de eenheden van de decimalen (delen van eenheden).
De punten worden wel gebruikt (maar ook vaak niet) om cijfers in groepen van 3 te verdelen zodat het lezen van het getal gemakkelijker wordt. Merk op dat de meeste rekenmachines (in navolging van de Amerikaanse notatie) juist de decimale punt in plaats van onze komma gebruiken en soms komma's om de cijfers in groepjes van drie te verdelen.

Bij een positiestelsel heb je het cijfer 0 nodig om lege posities aan te geven.
Bijvoorbeeld 2004 is:

2 duizendtallen = 2 · 1000 = 2 · 103
0 honderdtallen = 0 · 100 = 0 · 102
0 tientallen = 0 · 10 = 0 · 101
4 eenheden = 4 · 1 = 4 · 100

Er zijn andere manieren om getallen weer te geven, soms in een positiestelsel, soms niet. Bekende voorbeelden zijn:


De voordelen van een positiestelsel: handig rekenen

Positiestelsels zijn betrekkelijk modern: ze bestaan pas zo'n 1200 - 1400 jaar. In Europa zijn ze pas na 1200 na Chr. ingevoerd, vooral door toedoen van Fibonacci. In de Nederlanden heeft Stevin de invoering van het tientallig stelsel gestimuleerd door het boek 'De Thiende' te schrijven.

De voordelen van het tientallig stelsel worden pas duidelijk als je ziet hoe in de Oudheid het rekenen met getallen in zijn werk ging. Optellen en aftrekken gaat nog wel redelijk gemakkelijk, maar vermenigvuldigen en delen zijn behoorlijk lastig. Men werkte vaak met trucs als verdubbelen en halveren.
Een positiestelsel geeft je de mogelijkheid om 'positie voor positie af te werken'.
Loop de optelling en de aftrekking van 1084 en 945 maar eens door:



Je ziet het gemak van het tientallig stelsel het best als je even kijkt hoe de Oude Egyptenaren, Babyloniėrs, Grieken en Romeinen moesten rekenen. Vermenigvuldigen en delen waren echt lastig...
Vermenigvuldigen is herhaald optellen: 6 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3.
Delen is herhaald aftrekken: 18 / 3 = 6 want je kunt de 3 wel 6 keer van de 18 aftrekken; 3 past 6 keer in de 18.
Hier zie je een vermenigvuldiging en een deling in het decimale stelsel:



De gebruikte methode van opschrijven is behoorlijk overzichtelijk. Deze berekeningen zijn veel korter dan de manieren van vermenigvuldigen en delen die in de Oudheid nodig waren.


Delingen die niet uitkomen

Bij het delen werd natuurlijk meteen ontdekt dat het niet altijd paste: 832 / 64 = 13 omdat 64 precies 13 keer in de 832 past. Maar bijvoorbeeld 834 / 64 komt niet zo mooi uit want 64 past niet precies in 834.

In de Oudheid ging het dan gewoon niet en schreef men de getallen als verhouding, als breuk:
834 / 64 ging 13 keer met rest 2, dus 834 / 64 was 13 en nog 2 / 64.
Tegenwoordig schrijf je:


Want 2 / 64 is dezelfde verhouding als 1 / 32.

Na verloop van tijd werden breuken als gewone getallen beschouwd waarmee je kunt rekenen.



De decimale komma

Een andere manier om te kijken naar delingen die niet uitkomen is het uitbreiden van het tientallig stelsel. Er worden tienden, honderdsten, duizendsten, etc., ingevoerd om te kunnen tellen in delen van eenheden. In een getal als 2,5428 stellen de cijfers achter de komma (decimalen) deze tienden, hondersten, etc., voor:

2 eenheden = 2 · 1 = 2 · 100
decimale komma
5 tienden = 5 · 0,1 = 5 · 10–1
4 honderdsten = 4 · 0,01 = 4 · 10–2
2 duizendsten = 2 · 0,001 = 2 · 10–3
8 tienduizendsten = 8 · 0,0001 = 8 · 10–4

Hiernaast kun je zien dat 834 / 64 = 13,03125.
Op deze manier is een deling (en dus een breuk) als decimaal getal te schrijven.

Maar er ontstaat wel een merkwaardige situatie:
er blijken delingen te zijn die nog steeds nooit op 0 uitkomen!
Bij een deling zijn er twee mogelijkheden: hij komt op een eindig aantal decimalen uit of de decimalen gaan zich na verloop van tijd herhalen. (Hoe zou dat komen; kun je dat bewijzen?)
En zo ontstaat een nieuw fenomeen: getallen waarvan de decimale schrijfwijze niet eindigt! Een paar eenvoudige voorbeelden:
1/3 = 0,3333333333333333333333333333333333...
1/6 = 0,1666666666666666666666666666666666...
1/7 = 0,1428571428571428571428571428571428...

Later meer over deze getallen...


Naamgeving grote en kleine getallen

Bij de naamgeving van getallen worden woorden als honderd, duizend, miljoen, miljard, maar ook miljoenste, miljardste, enzovoorts, gebruikt. Deze lijst geeft hun betekenis en de afkortingen die er bij worden gebruikt:

naam factor voorvoegsel symbool
triljoen 1018 Exa E
biljard 1015 Peta P
biljoen 1012 Tera T
miljard 109 Giga G
miljoen 106 Mega M
duizend 1000 = 103 kilo k
honderd 100 = 102 hecto h
tien 10 deca da
eenheid 1

tiende 0,1 = 10–1 deci d
honderdste 0,01 = 10–2 centi c
duizendste 0,001 = 10–3 milli m
miljoenste 10–6 micro m
miljardste 10–9 nano n
biljoenste 10–12 pico p
biljardste 10–15 femto f
triljoenste 10–18 atto a

Het grootste getal dat een naam heeft gekregen is 'googol': 1 googol = 10100.


De wetenschappelijke notatie

Voor getallen die vanwege hun grootte met veel nullen worden geschreven gebruik je de wetenschappelijke notatie. Daarbij werk je met machten van tien: Altijd wordt het getal geschreven in de vorm a · 10p, waarin 1 < a < 10 is (eventueel kan a = 1 ook nog).