De oogbalsituatie
Een praktische opdracht voor de tweede fase vwo, NT-profiel
| Bronnen: |
Je wiskundeboek.
Een computerprogramma voor vlakke meetkunde zoals Cabri of Cinderella.
Deze opdracht is oorspronkelijk afkomstig uit de reclamefolder van Texas Instruments. |
| Theorie: |
Vlakke meetkunde: vermoedens onderzoeken en bewijzen |
| Resultaat: |
Leesbare uitwerking gemaakt in een tekstverwerker, met Cabri-figuren (titelblad downloaden) |
| Studielast: |
8 uur |
In deze praktische opdracht worden in drie opgaven rond twee cirkels
bewijzen gevraagd. Eén daarvan (de moeilijkste) is de oogbalsituatie, geformuleerd als een vermoeden waarvan je wordt geacht het te onderzoeken en... een bewijs te leveren dat dit vermoeden onjuist is.
Schrijf een leesbare uitwerking rond de volgende opgaven:
- Rechthoek en cirkels:
- Teken in Cabri een cirkel met middelpunt A en een willekeurige straal.
- Teken in Cabri een tweede cirkel met middelpunt B en een willekeurige straal.
- Trek lijnstuk AB.
- Teken de loodlijnen door A en B, beide loodrecht op AB.
- Snijpunten van deze loodlijnen met de cirkels zijn P (recht boven A) en
Q (recht boven B).
Onderzoek in welke situatie vierhoek ABQP een rechthoek is en bewijs dat dit resultaat juist is.
Onderzoek ook in welke situatie vierhoek ABQP een vierkant is en bewijs dat dit resultaat juist is.
- Koordenvierhoek en cirkels:
- Teken in Cabri een cirkel met middelpunt A en een willekeurige straal.
- Teken in Cabri een tweede cirkel met middelpunt B en een willekeurige straal.
- Trek lijnstuk AB.
- Teken de loodlijnen door A en B, beide loodrecht op AB.
- Snijpunten van deze loodlijnen met de cirkels zijn P (recht boven A),
Q (recht onder A), R (recht onder B) en S (recht boven B).
Bewijs dat vierhoek PRSQ een koordenvierhoek is.
Bepaal het middelpunt van de omgeschreven cirkel van PRSQ en bewijs dat het gevonden resultaat juist is.
- De oogbalsituatie:
Gegeven zijn twee cirkels met middelpunten A en B.
Vanuit elk van die middelpunten worden twee raaklijnen aan de andere cirkel getrokken.
Dit levert snijpunten P, Q, R en S op (zie figuur).
Het lijkt er op dat de cirkelbogen PQ en RS precies even lang zijn. Bewijs dat dit in het algemeen niet het geval is. Bewijs ook dat dit wel het geval is voor de lijnstukken PQ en RS
Wijd in je inleiding van de leesbare uitwerking ook een paar zinsneden aan de naam 'oogbalsituatie'
(waar komt die naam vandaan, denk je?). Leg steeds uit hoe je Cabri gebruikt.
Formuleer steeds je bewijzen zorgvuldig (gebruik: Gegeven, Te bewijzen, Bewijs).
Bij de oogbalsituatie moet je raaklijnen aan een cirkel construeren. Bestudeer daarvoor eerst hoe dit in het programma (Cabri of Cinderella) gaat.
Uitwerking:
- Eerste opdracht (20 punten)
- Tweede opdracht (20 punten)
- Derde opdracht (20 punten)
Math4all