Krommen door rechten, architectuur van Gaudi

Een praktische opdracht voor de tweede fase vwo, wiskunde B

Bronnen: Bekijk vooral het onderdeel Kegelsneden.
Theorie: Vlakke meetkunde, parabool, hyperbool, ellips
Resultaat: Een leesbare uitwerking van de opdracht (titelblad leesbare uitwerking downloaden)
Studielast: 8-10 uur

Inleiding

De Catalaanse architect Antonio Gaudi is beroemd geworden om de gebogen vormen en het gebruik van veel kleur in door hem ontworpen gebouwen. Bekijk maar eens wat van zijn gebouwen en vormen bij:

In november 2000 werden door de Gaudi-werkgroep van de TU-Delft speciale dagen rond deze architect georganiseerd. Daar legde de Australische architectuuronderzoeker Mark Burry uit hoe Gaudi die bogen en gekromde oppervlakken construeerde. Hij bouwde ze op vanuit rechte lijnen.

In deze opdracht zul je zelf onderzoeken hoe dat gaat en welke krommen (en oppervlakken) er dan ontstaan. Wellicht raak je ook aan het knutselen (eventueel met de computer).

Een parabool construeren

De constructie van een parabool is eenvoudig:

De parabool ontstaat echt als je oneindig veel van die bissectrices op deze wijze tekent. Op de animatie hiernaast worden er maar een paar getekend, maar de paraboolvorm wordt toch al zichtbaar. Je start de animatie met de pijl naar rechts, met de pijl naar links ga je terug naar het lege veld. Met de middelste knop kun je tussentijds stoppen.

Een hyperbool construeren

De constructie van een hyperbool is nog eenvoudiger dan van een parabool:

Andere krommen

Nu ontstaan als vanzelf vragen als:

Gebogen oppervlakken

Het lijkt wellicht vreemd, maar veel gebogen oppervlakken kunnen worden geconstrueerd vanuit rechte lijnen. Die rechte lijnen liggen dan op het gekromde oppervlak. Je ziet er hierna een viertal voorbeelden van:

De opdracht

De opdracht luidt nu als volgt: