Hoeken en cirkels

Inleiding

Constructies met passer en liniaal zijn in de praktijk vaak nogal handig: met een passer kun je elke willekeurige lengte afpassen en overbrengen en met een liniaal kun je rechte lijnen maken. In de Oudheid werd hieraan dan ook veel tijd besteed. Hier zie je een cirkel met drie punten op de rand. Vergelijk beide aangegeven hoeken met elkaar.

Je leert nu:

• de definities van cirkel, cirkelboog, koorde, middelpuntshoek, omtrekshoek;
• de belangrijkste eigenschappen van hoeken in en op een cirkel;
• de (omgekeerde) stelling van Thales, de stellingen van middelpuntshoek en omtrekshoek.

Je kunt al:

• eenvoudige bewijzen leveren, ook uit het ongerijmde;
• werken met congruente en/of gelijkvormige driehoeken bij bewijzen;
• de eigenschappen van vierhoeken gebruiken bij bewijzen.

Verkennen

In de applet in

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde > Vierhoeken en cirkels >Hoeken en cirkels > Verkennen

zie je een cirkel met drie punten op de rand. Vergelijk beide aangegeven hoeken maar eens met elkaar als je de punten gaat bewegen. Pak de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B er bij.

> Je kunt zeggen dat ∠ACB de hoek is waaronder je koorde AB ziet als je in punt C op de cirkel staat. Wat gebeurt er met deze hoek als je alleen punt C beweegt? Welke stelling van je lijst is dit?
> Welk verband vermoed je tussen de omtrekshoek ∠ACB en de middelpuntshoek ∠AMB? Zoek de bijbehorende stelling van je lijst.
> Hoe volgt hieruit de stelling van Thales?

Uitleg

Hier zie je weer een cirkel met drie punten op de rand.
Lijnstuk AB heet een koorde AB, het kleinste stuk cirkel tussen A en B heet boog AB. ∠ACB is de omtrekshoek op boog AB.

Het lijkt in de figuur dat de omtrekshoek precies de helft is van de middelpuntshoek. Maar meer dan een vermoeden is dat niet... je moet het wel even bewijzen!
Het bewijs is niet al te moeilijk als je bedenkt dat de stralen MA, MB en MC even lang zijn en er dus drie gelijkbenige driehoeken zijn met M als tophoek.
Neem nu: ∠ABM = ∠BAM = α, ∠ACM = ∠CAM = β en ∠CBM = ∠BCM = γ.

• In ΔABC: 2α + 2β + 2γ = 180°
• In ΔABM: ∠AMB = 180° – 2α
• Dus: ∠AMB = 180° – (180° – 2β – 2γ) = 2β + 2γ = 2 · ∠ACB

Hiermee is het bewijs geleverd zolang M binnen ΔABC ligt. Is dit niet het geval dan moet je daarvoor nog een vergelijkbaar bewijs leveren. Maar dat kun je vast zelf wel...

Merk op dat een speciaal geval ontstaat als M precies op koorde AB ligt. Dat is ∠AMB = 180° en dus ∠ACB = 90°. Zo heb je de stelling van Thales bewezen.

‡

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg. Bekijk het bewijs van de stelling.
   1. Bekijk de stelling van de omtrekshoek op de lijst van definities en stellingen. Waarom is hij zo geformuleerd?
   2. Teken nu de situatie dat bij een omtrekshoek ACB het hoekpunt M van de bijbehorende middelpuntshoek AMB niet binnen `Delta ABC` ligt.
   3. Bewijs de stelling van de omtrekshoek ook voor de in b beschreven situatie.


2. Op de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B staat de stelling van Thales.
   1. Leg uit waarom die stelling een bijzonder geval is van de stelling van de omtrekshoek.
   2. Als `AB` een koorde is die niet door het middelpunt `M` van de cirkel gaat en `P` is een punt op de cirkel, is `/_ ACB` dan groter of kleiner dan `90`°?


3. Waarom volgt uit de stelling van Thales dat een rechthoek een vierhoek is waarvan alle hoekpunten op een cirkel liggen?
   

Theorie

Dit onderdeel gaat over stellingen betreffende cirkels en hoeken. Een aantal staan er op de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B. Daarbij horen de volgende definities:

• Een cirkel met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten die afstand r tot het punt M hebben.
• Een koorde van een cirkel is een lijnstuk waarvan de eindpunten op de cirkel liggen.
• Een middellijn van een cirkel is een koorde die door het middelpunt gaat.
• Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.
• Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en de benen de cirkel snijden.
• Een (cirkel)boog is een deel van een cirkel begrensd door twee eindpunten. Boog AB is de boog tussen de punten A en B doorlopen tegen de wijzers van de klok in.

Hierbij horen enkele van de stellingen van de genoemde lijst. Het gaat om de stelling van de omtrekshoek, de (omgekeerde) stelling van de constante hoek, de (omgekeerde) stelling van Thales, de stelling over boog en koorde. Sommige daarvan worden in de voorbeelden bewezen.

‡

Voorbeeld 1

Als ∠ACB in ΔABC recht is, dan ligt C op de cirkel met middellijn AB. (omgekeerde stelling van Thales)

Antwoord

Trek door A een lijn evenwijdig aan CB en door B een lijn evenwijdig aan CA. Die lijnen snijden elkaar in een punt D en ACBD is een parallellogram.
Nu is: ∠CAB = ∠DBA en ∠CBA = ∠DAB (Z-hoeken). Maar ∠CAB + ∠CBA = 90°, dus ook ∠CAB + ∠DAB = 90°. ACBD is dus een rechthoek.
De diagonalen van een rechthoek zijn gelijk en delen elkaar middendoor.
Hun snijpunt is dus het midden M van AB en bovendien is |CM| = |AM|. De afstanden van A, B, C (en D) tot M zijn gelijk, en M is het middelpunt van een cirkel die door A, B en C gaat en waarvan AB een middellijn is.
Q.e.d.

‡

Voorbeeld 2

In een cirkel horen gelijke bogen bij gelijke koorden. (stelling boog en koorde)
Dit betekent: als cirkelbogen AB en CD gelijk zijn, dan zijn de bijbehorende koorden AB en CD gelijk en omgekeerd. Het zijn eigenlijk twee stellingen.
(Bij een koorde horen steeds twee cirkelbogen, een grote en een kleine. Bij twee gelijke koorden zijn de kleine bogen aan elkaar gelijk en de grote bogen aan elkaar gelijk.)

Antwoord

Te bewijzen:
Als koorde AB gelijk is aan koorde CD, dan is cirkelboog AB gelijk aan cirkelboog CD en omgekeerd.

Bewijs:
Merk eerst op dat bij gelijke middelpuntshoeken gelijke cirkelbogen horen als beide bogen op dezelfde cirkel liggen.
Laat M het middelpunt zijn, en AB en CD twee gelijke koorden. Ook geldt |MA| = |MB| = |MC| = |MD|. Dus ΔMAB is congruent met ΔMCD (ZZZ). Dus ∠AMB = ∠CMD.
Omgekeerd als beide cirkelbogen gelijk zijn, dan is ∠AMB = ∠CMD. Weer is |MA| = |MB| = |MC| = |MD|. Dus ΔMAB is congruent met ΔMCD (ZHZ). Dus |AB| = |CD|. Q.e.d.

‡

Voorbeeld 3

De loodlijn vanuit het middelpunt van een cirkel op een koorde deelt die koorde middendoor. (stelling loodlijn op koorde)

Antwoord

Te bewijzen:
Zie figuur: |AP| = |PB|.

Bewijs:
Omdat |MA| = |MB|, |PM| = |PM| en ∠BPM = ∠APM = 90° is ΔBPM congruent met ΔAPM (ZZR).
En dus is |AP| = |PB|.
Q.e.d.

‡

Voorbeeld 4

De volgende stelling komt niet in de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B voor. Hij moet worden bewezen door alleen gebruik te maken van wat op die lijst voorkomt.
Stelling:
Bij twee snijdende koorden is het product van de twee stukken waarin de éne koorde de andere verdeelt voor beide koorden hetzelfde.

Antwoord

Gegeven:
Laat AB en CD twee koorden zijn van een cirkel met middelpunt M die elkaar snijden in een punt S dat binnen de cirkel ligt. Zie figuur.

Te bewijzen: Je moet dan bewijzen dat |AS| · |BS| = |CS| · |DS|.

Bewijs:
Omdat ∠BAC en ∠BDC allebei omtrekshoeken van koorde BC zijn, met A en D aan dezelfde kant van BC als M is ∠BAC = ∠BDC (stelling van de constante hoek). Omdat ook ∠ASC = ∠DSB (overstaande hoeken) is ΔASC gelijkvormig met ΔDSB.
Daaruit volgt: |AS| : |DS| = |CS| : |BS| en dus |AS| · |BS| = |CS| · |DS|.
Q.e.d.

‡

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 wordt de omgekeerde stelling van Thales bewezen.
   1. Waarom betekent deze stelling dat elke rechthoek een omgeschreven cirkel heeft?
   2. Waarom betekent deze stelling dat de hoekpunten van twee rechthoekige driehoeken met dezelfde schuine zijde op een cirkel liggen?


5. Gegeven is `Delta ABC` met de hoogtelijnen `AD` en `BE`.
   Bewijs dat de punten `A`, `B`, `D` en `E` op één cirkel liggen.
   


6. In Voorbeeld 2 wordt stelling dat bij gelijke bogen gelijke koorden horen en omgekeerd.
   1. Welke twee stellingen worden er bewezen?
   2. Bewijs de stelling: "Bij gelijke omtrekshoeken horen gelijke koorden en omgekeerd."


7. Bereken in deze figuur alle voorkomende hoeken. Er geldt `AB = BC` en `/_ CBD = 15`°.
   


8. In Voorbeeld 3 wordt de stelling loodlijn op koorde bewezen.
   In een cirkel zijn twee evenwijdige koorden getekend. Bewijs dat de middelloodlijn van de éne koorde ook de middelloodlijn van de andere koorde is.
   


9. In Voorbeeld 4 wordt een stelling bewezen die niet op de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B staat.
   1. Probeer zelf dit bewijs te leveren zonder het antwoord erbij te hebben.
   2. Bekijk nu het bewijs dat in het voorbeeld wordt geleverd. Er is verzuimd om te melden welk gelijkvormigheidskenmerk wordt gebruikt. Welk gelijkvormigheidskenmerk is dat?


10. Op een cirkel liggen, in deze volgorde, de punten `A`, `B`, `C`, `D` en `P`. Verder is `/_ APB = /_ CPD`.
    Bewijs dat `|AC| = |BD|`.
    

Verwerken

11. In een cirkel met middelpuntMis AB een koorde, maar geen middellijn. `P` is een punt op de cirkel en `/_APB < 90°`.
    Bewijs dat `P` aan dezelfde kant van `AB` ligt als `M`. (Geef een bewijs uit het ongerijmde; gebruik daarbij een middellijn door A.)
    


12. In een cirkel met middelpunt M is AB een koorde, maar geen middellijn. `P` is een punt op de cirkel aan dezelfde kant van `AB` als `M`. Je gaat bewijzen dat `/_APB < 90°`.
    1. Ga na: als `M` in `Delta ABP` ligt is `/_APB < 90°` (aanwijzing: trek de lijn door `A` en `M`).
    2. Als `M` niet in `Delta ABP` ligt is ook `/_APB < 90°`. Bewijs dat door het resultaat van a te gebruiken. En bewijs dat ook door de methode van a te gebruiken.
    3. Vat nu je resultaten uit deze en de voorgaande opgave samen in één stelling. Neem daarin de stelling van Thales op als speciaal geval.


13. Bij een koorde horen een middelpuntshoek en omtrekshoeken. Omgekeerd hoort bij een middelpuntshoek of een omtrekshoek een koorde, namelijk die tussen de snijpunten van de benen met de cirkel.
    1. Bewijs: als twee middelpuntshoeken, elk kleiner dan `180°`, gelijk zijn, zijn hun koorden gelijk.
    In het volgende mag je gebruiken: bij een omtrekshoek die kleiner dan `90°` is ligt het hoekpunt aan dezelfde kant van de koorde als het middelpunt.
    2. Bewijs: als twee omtrekshoeken, elk kleiner dan `90°`, gelijk zijn, zijn hun koorden gelijk.


14. Bewijs dat in de situatie van deze figuur geldt: `|DC| = |DE|`.
    


15. Door een punt `P` buiten de cirkel `c` worden twee halflijnen getrokken. De éne snijdt `c` eerst (vanaf `P` gezien) in `A` en dan in `B`, de andere eerst in `C` en dan in `D`.
    1. Bewijs dat uit `Delta PBD` is gelijkbenig volgt dat `Delta PAC` gelijkbenig is en omgekeerd.
    2. Bewijs dat uit `|AB| = |CD|` volgt dat `|AD| = |BC|` en omgekeerd.
    3. Bewijs dat uit `Delta PBD` is gelijkbenig volgt `|AB| = |CD|` en omgekeerd.

Testen

16. In de figuur geldt: `/_APB = /_CPD`. Bewijs dat `|AC| = |BD|`.
    
    
    
    


17. `A`, `C` en `D` zijn drie punten op een cirkel. `B` ligt op `AD` zo, dat `|AB| = |AC|`. Bewijs dat `|BE| = |ED|`.
    


18. Bewijs dat twee rechthoekige driehoeken met dezelfde schuine zijde dezelfde omgeschreven cirkel hebben.
    


19. Een gelijkbenige rechthoekige driehoek `ABC` ligt op een vel papier. `AB` is de schuine zijde. `A` ligt op de linkerrand van het papier en `B` op de onderrand. `D` is het hoekpunt linksonder van het papier. Beginnend met `B` in `D` beweegt de driehoek over het papier waarbij `B` langs de onderrand schuift en `A` langs de linkerrand.
    1. Bewijs dat `C` daarbij beweegt over de bissectrice van `/_D`.
    2. Bewijs dat het midden `M` van `AB` een kwartcirkel beschrijft.
    (Bron: examen vwo wiskunde B1,2 in 2001)