Sinusoïde als model

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Periodieke modellen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Periodieke modellen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

  1. Bekijk hoe bij de Uitleg een sinusoïde wordt opgesteld als model voor de waterstand bij Harlingen.
    1. Leg uit hoe uit de gegevens de periode, de amplitudo en de evenwichtslijn wordt gevonden.
    2. Stel een bijpassende formule op uitgaande van `y = cos(x)`.
    3. Laat zien dat beide formules dezelfde grafiek opleveren. Maak die grafieken op je grafische rekenmachine.

  2. Ga uit van de functie `y = sin(x)`. Schrijf het voorschrift op van de periodieke functies die ontstaan bij de volgenden wijzigingen:
    1. De amplitude wordt 4.
    2. De amplitude wordt 10 en de evenwichtsstand wordt 20.
    3. De periode wordt `4pi` en de amplitude wordt 4.
    4. De horizontale verschuiving is 2, de periode wordt 10, de amplitude wordt 5 en de evenwichtsstand wordt 10.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Periodieke functies > Periodieke modellen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Je ziet hier een sinusoïde getekend. Maak er een functievoorschrift bij, uitgaande van `y = sin(x)`.
    Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.

  2. Maak bij de sinusoïde van de vorige opgave een functievoorschrift uitgaande van `y = cos(x)`.

  3. De grafiek van een sinusoïde `f` heeft minimum 10 voor `x = 1` en eerstvolgend maximum 26 voor `x = 13`.
    1. Bereken de periode, de evenwichtslijn en de amplitude. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2.
    2. Geef een passende formule, gebruik naar keuze de sinus of de cosinus.
    3. Bereken in twee decimalen nauwkeurig: `f(12)`, `f(12,25)`, `f(12,5)`, `f(12,75)` en `f(13)`.
    4. Los op: `f(x) > 16`.

  4. Bestudeer Voorbeeld 3.
    1. Stel voor de bovenrand een formule op uitgaande van `y = sin(x)`.
    2. Een lijn evenwijdig aan `PQ` snijdt de bovenrand in `A` en `B`. Gegeven is `AB = 4` cm. Bepaal de coördinaten van `A` en `B`.

Verwerken

  1. Stel bij deze vier sinusoïden een passend functievoorschrift op.




  2. Bij de vorige opgave zijn bij elke sinusoïde meerdere functievoorschriften mogelijk.
    1. Geef er bij `y_1` minstens drie.
    2. Gebruik één van deze functievoorschriften om op te lossen: `y_1 = -2`. Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

  3. De grafiek van `f` is sinusvormig. De evenwichtslijn is `y = 1`, de amplitude is 2, de periode is `pi` en de grafiek gaat stijgend door het punt `(1/6 pi, 1)`.
    1. Stel een formule op voor `f(x)`.
    2. Bereken met die formule `f(0)`.
    3. Los op: `f(x) <= 0`.

  4. Een reuzenrad bevat de stoeltjes `C` en `D`. Stoeltje `C` draait op een afstand van 4 meter van de as in de rondte, stoeltje `D` op een afstand van 8 meter. De as van het reuzenrad bevindt zich op 10 meter boven de grond. Bekijk de getekende situatie. Het reuzenrad draait in 8 seconden één keer rond. Op `t = 0` staat stoeltje `D` zo hoog mogelijk. Het reuzenrad draait tegen de wijzers van de klok in.
    1. Bereken bij elke stand de hoogte van de stoeltjes `C` en `D` ten opzichte van de grond.
    2. Stel een passend functievoorschrift op voor de hoogte van stoeltje `D`.
    3. Hoe hoog staat stoeltje `C` op tijdstip `t = 1413,25`?
    4. Hoe lang zit je in stoeltje `C` elk rondje hoger dan 12 m?

Testen

  1. Functie `f` met voorschrift `f(x)` heeft een sinusvormige grafiek met een minimum in het punt `(20,300)` en een eerstvolgend maximum in het punt `(32,400)`.
    1. Maak een schets van deze grafiek met `x` van `0` tot ten minste `40`.
    2. Bereken de periode, de amplitude en de evenwichtslijn en stel een passend functievoorschrift op.
    3. Bereken `f(50)`, `f(51)` en `f(52)`.
    4. Los op: `f(x) = 325`.

  2. Stel bij deze sinusoïde twee passende functievoorschriften op.

  3. Onze ademhaling is bij benadering een periodiek verschijnsel. Een gezonde volwassen man ademt ongeveer 12 keer per minuut in en weer uit. De longinhoud `V(t)` kan daarbij met zo’n halve liter toe- of afnemen, waarin `t` de tijd in seconden is. Het longvolume na inademen is 5,2 liter.
    1. Hoe groot is de ademhalingsfrequentie per minuut?
    2. Ga ervan uit dat `V(t)` een sinusoïde is met op `t = 0` een maximale longinhoud. Teken de grafiek van de longinhoud `V` uitgezet tegen de tijd `t`.
    3. Stel bij deze situatie een formule op voor `V(t)`.