Binomiale kansen benaderen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. `~~ 0,8109`
   2. `~~ 0,8092`
   3. Het verschil is gering. Het rekening houden met afrondingen - dus de continuïtietscorrectie - is echt van belang. Kijk maar eens wat er uitkomt als je dit nalaat.
2. 1. Binomiaal: `text(P)(K = 6 | n = 15 text( en ) p = 0,5) ~~ 0,1527`.
   2. Normaal: `text(P)(5,5 <= K < 6 | mu = 7,5 text( en ) sigma ~~ 1,936) ~~ 0,1520`.
   3. Het verschil is gering, zelfs bij `n = 15` is het kanshistogram bij `p = 0,5` al redelijk goed te benaderen door een normaalkromme.
3. 1. Doen.
   2. `n = 15000 > 25` en `n * p = 15000 * 0,05 = 750 > 5` en `n * (1 - p) = 15000 * 0,95 > 5`. Dus ja.
4. 1. Doen.
   2. Nee, zie de laatste zin van het voorbeeld.
5. 1. `text(P)(X <= 3 | n = 100 text( en ) p = 0,06) ~~ text(P)(X < 3,5 | mu = 6 text( en ) sigma ~~ 2,37) ~~ 0,1457`.
   2. `text(P)(X = 11 | n = 100 text( en ) p = 0,06) ~~ text(P)(10,5 <= X < 11,5 | mu = 6 text( en ) sigma ~~ 2,37) ~~ 0,0186`.
6. 1. Je werkt met een grote populatie.
   2. Nee, tegenwoordig niet meer. Vroeger (in het tijdperk voor de rekenmachine) was dit onvermijdelijk. En ook de eerste rekenmachines konden vaak grote populaties niet aan.
   3. Binomiaal: `1 - text(P)(X <= 699 | n = 1400 text( en ) p = 0,55) ~~ 0,9999`.
      Normaal benaderd: `1 - text(P)(X < 699,5 | mu = 770 text( en ) sigma ~~ 18,61) ~~ 0,9976`.
7. Bereken eerst `mu = n * p = 20` en `sigma = sqrt(n * p * (1 - p)) = 2`.
   1. `text(P)(19,5 <= X < 20,5 | mu = 20 text( en ) sigma = 2) ~~ 0,1974`
   2. `text(P)(24,5 <= X < 25,5 | mu = 20 text( en ) sigma = 2) ~~ 0,0092`
   3. `text(P)(-0,5 <= X < 0,5 | mu = 20 text( en ) sigma = 2) ~~ 0,0000`
   4. `text(P)(X >= 12,5 | mu = 20 text( en ) sigma = 2) ~~ 0,9999`
   5. `text(P)(17,5 <= X < 22,5 | mu = 20 text( en ) sigma = 2) ~~ 0,7887`
8. 1. `mu = 525 * 0,025 = 13,125`, dus ongeveer 13.
   2. Normale benadering: `text(P)(X < 8,5 | mu = 13,125 text( en ) sigma ~~ 3,577) ~~ 0,0980`
      Binomiaal: `text(P)(X <= 8 | n = 525 text( en ) p = 0,025) ~~ 0,0914`
      Beide waarden verschillen wel enigzins.
   3. Binomiaal: `text(P)(X <= 5 | n = 525 text( en ) p = 0,025) ~~ 0,0092`
      Normale benadering: `text(P)(X < 5,5 | mu = 13,125 text( en ) sigma ~~ 3,577) ~~ 0,0165`
9. 1. `text(P)(X > 60 | n = 1150 text( en ) p = 0,05) ~~ 0,3362`
   2. `text(P)(X > 60,5 | n = 57,5 text( en ) sigma = 7,391) ~~ 0,3424`
10. 1. Deze normale verdeling is een benadering van een binomiale verdeling waarbij `n = 350` en `p` is te berekenen uit `350 * p = 17,5`. Dit geeft `p = 0,05` en dat is de kans dat bij een bepaalde reservering niemand komt opdagen. De gevraagde kans is daarom 0,95.
    2. `text(P)(X <= 350 | n = a text( en ) p = 0,95) >= 0,99` geeft `a = 359`.
       Hij kan dan maximaal 359 reserveringen aannemen.
11. 1. `text(P)(X <= 59 | n = 250 text( en ) p = 0,3) ~~ 0,0147`
    2. `text(P)(X < 59,5 | n = 75 text( en ) sigma = 7,25) ~~ 0,0162`
12. 1. Uit `sigma = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(50p(1 - p)) = 3` volgt `100p^2 - 100p + 18 = 0` en dus `p ~~ 0,76 vv p ~~ 0,24`.
       Omdat er van een redelijk goede schutter sprake is zal zijn trefkans per schot ongeveer `0,76` zijn.
    2. `50 * 0,76 = 38` keer.
    3. `text(P)(X >= 30 | n = 50 text( en ) p = 0,76) ~~ 0,9962`