Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. Als `x rarr -oo` dan `text(e)^(x - 2) rarr 0` en dus `y rarr -5`.
      De horizontale asymptoot is `y = -5`.
    2. `-5 + text(e)^(x-2) = 0` geeft `text(e)^(x - 2) = 5` en dus `x = ln(5) + 2 ~~ 3,609`.
      Het snijpunt met de `x`-as is `(3,609; 0)`.
    3. `f'(x) = text(e)^(x-2)` geeft `f'(ln(5) + 2) = 5`, dus de raaklijn heeft vergelijking `y = 5x - 5ln(5) - 10`.
    4. `-5 + text(e)^(x-2) = -4` geeft `text(e)^(x - 2) = 1` en dus `x = 2`.
      De oplossing van de ongelijkheid is `x < -2`.
    1. Verticale asymptoot `x = 4`.
      `text(D)_f = (:4, rarr:)`.
    2. Er is geen snijpunt met de `y`-as.
      Het snijpunt met de `x`-as vind je uit `f(x) = -2 ln(x - 4) + 2 = 0` en dit geeft `ln(x - 4) = 1`, dus `x = 4 + text(e)`. Dus `(4 + text(e), 0))`.
    3. `f'(x) = (-2)/(x - 4)` geeft `f'(4 + text(e)) = (-2)/(text(e))` en dus is de vergelijking van de raaklijn `y = (-2)/(text(e)) * x + 8/(text(e)) + 2`.
    4. `f(x) = 10` geeft `ln(x - 4) = -4` en dus `x = text(e)^(-4) + 4`.
      `f(x) = -10` geeft `ln(x - 4) = 6` en dus `x = text(e)^(6) + 4`.
      Grafiek: `text(e)^(-4) + 4 < x < text(e)^(6) + 4`.
    1. `t rarr oo` geeft `text(e)^(-0,31t) rarr 0` en dus `N(t) rarr 1200`.
    2. Horizontale asymptoot `N = 1200`.
    3. `1200(1 - text(e)^(-0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(-0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.
    4. `v(t) = 372text(e)^(-0,31t)` en als `t rarr oo` dan gaat `v(t) rarr 0`.
      Dat wil niet zeggen dat `N` naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar `0` en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.
    5. `N'(t) = 372text(e)^(-0,31t) > 0` voor elke waarde van `t`.
    6. `t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.
    7. `v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(-0,31t) = 186` geeft `text(e)^(-0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24`. Dat is ongeveer `2` uur en `14` minuten.
    1. Voor functie `f` moet `4 - x > 0` en dit geeft als domein `text(D)_f = (:larr, 4:)`.
      Aan de grafiek zie je dat de functie `f` een verticale asymptoten bij `x = 4` heeft, dus: `text(B)_f = RR`.
      Voor functie g moet `3x > 0`, dus `text(D)_f = (:0,rarr:)`.
      Verder is dit een functie waarvan de grafiek kan worden gevonden door transformaties uit te voeren op de grafiek van `y = log(x)`. Dus `text(B)_f = RR`.
    2. `f(x) = g(x)` geeft `4 - x = 3x` en dus `x = 1`.
      Grafieken: `1 <= x < 4`.
    3. `S(1, log(3))` en `f'(x) = (-1)/((4 - x)ln(10))` en `g'(x) = 1/(x ln(10))`.
      `f'(1) = (-1)/(3ln(10)) = tan(alpha)` geeft `alpha ~~ -8,2`°.
      `g'(1) = (1)/(ln(10)) = tan(beta)` geeft `beta ~~ 23,5`°.
      De hoek tussen beide raaklijnen is ongeveer `32`°.
    1. Halvering per vaste periode, dus exponentiële groei. Elk exponentieel groeimodel is te schrijven m.b.v. een e-macht.
    2. `H(t) = 1 * (0,5^(1/(4,486)))^t ~~ 1 * 0,856^5 ~~ 1 * text(e)^(-0,155t)`.
    3. Bij een exponentieel proces is de groeifactor niet afhankelijk van de (begin)hoeveelheid.
    4. `0,5^(1/(8,06)) ~~ text(e)^(-0,086)`, dus `k ~~ -0,086`.
    5. `H(t) = 1 * text(e)^(-0,086t)` geeft `H'(t) = -0,086 * text(e)^(-0,086t) = -0,086 * H(t)`, dus de evenredigheidsconstante is `-0,086`.
    6. `text(e)^(-0,086t) = 0,1` geeft `t ~~ 26,8`.
    7. Ook na 26,8 dagen.
    8. `text(e)^(-0,086t) = 0,01` geeft `t ~~ 72,3`. Na 72,3 dagen is hoeveelheid niet meer meetbaar. De stof verdwijnt (in theorie) nooit volledig
    1. Voor 1985 geldt `t = 0`, er zijn dan `0,5` miljoen schollen ouder dan 1 jaar. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar is telkens `0,67` deel van dat van het voorgaande jaar plus 0,5 mln larven die hun eerste jaar hebben overleefd. Dus in de jaren 1986, 1987, ..., 1995 worden dat er: `0,83`; `1,06`; `1,20`; `1,30`; `1,36`; ... miljoen.
    2. Dit wordt een steeds langzamer stijgende grafiek. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar nadert steeds langzamer de 1,50 miljoen.
    3. `G = 1,50`.
      Gebruik nu `S(0) = 0,50` en (bijvoorbeeld) `S(4) = 1,30` en je vindt: `S(t) ~~ 1,50 - 1,00 * text(e)^(-0,40t)`.
    4. Het aantal vissen dat sterft als gevolg van de visserij is 23% van het aantal aanwezige vissen. Er van uitgaande dat larven te klein zijn voor bevissing zou dit betekenen dat het deel van de schollen ouder dan 1 jaar dat jaarlijks overleeft `0,67 * 0,77 ~~ 0,52` wordt.
    5. Doen.
    1. `800 = (8289,3)/B (1,778 - log(B))` geeft `B ~~ 8,6` of `B ~~ 8,7` (met de GR).
    2. Als `B` toeneemt, neemt `(8289,3)/B` af.
      Als `B` toeneemt, neemt `log(B)` toe, dus neemt `1,778 – log(B)` af.
      Dus is `N_(text(max))` dalend.
    3. Met de GR een tabel maken met passende instellingen.
      Aflezen uit de tabel dat `N_(text(max)) ~~ 1231` voor `B = 6,5` en dat `N_(text(max)) ~~ 1105` voor `B = 7,0`.
      De breedte van de weg was oorspronkelijk 6,5 meter.
    1. `T(t) = 10 + 10 * 0,9982^t` geeft 15°C na 385 minuten en 19,5° na 28,5 minuten.
    2. `T'(0) = -0,018`°C/min en `T'(60) = -0,016`°C/min.
    3. `T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `T'(t) ~~ 0,0279 * 0,9982^t > 0` voor elke `t`.
    4. 20°C na 18,2 minuten.
    5. `T(t) = 10 + 10,5 * 0,9982^t` geeft 19,5°C na 55,6 min.
      `T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft 20,5°C na 37,0 min.
      De periode is 92,6 minuten, dus CV brandt gedurende 40% van de periode.
    6. De CV gaat uit bij 20,25°C en de CV gaat aan bij 19,75°C.
      `T(t) = 10 + 10,25 * 0,9982^t` geeft 19,75°C na 27,8 min.
      `T(t) = 35 - 15,25 * 0,9982^t` geeft 20,25°C na 18,5 min.
      De periode is 46,3 minuten, dus CV brandt gedurende 40% van de periode.
    7. De CV gaat uit bij 20,5°C en de CV gaat aan bij 19,5°C.
      `T(t) = 3 + 17,5 * 0,9982^t` geeft 19,5°C na 32,7 min.
      `T(t) = 28 - 8,5 * 0,9982^t` geeft 20,5°C na 69,5 min.
      De periode is 102,2 minuten, dus CV brandt gedurende 68% van de periode.
      De CV gaat uit bij 20,25°C en de CV gaat aan bij 19,75°C.
      `T(t) = 3 + 17,25 * 0,9982^t` geeft 19,5°C na 16,3 min.
      `T(t) = 28 - 8,25 * 0,9982^t` geeft 20,5°C na 34,7 min.
      De periode is 51,0 minuten, dus CV brandt gedurende 68% van de periode.
    1. Vast percentage "overblijvers", dus constante groeifactor.
    2. `M = 0,05`: `(0; 0,05)` op verticale as.
      `G = 0,21`: de richtingscoëfficiënt van de lijn is `log(text(e)^(0,21))`.
    3. `m = 0,05 text(e)^(0,21x)`, de grafiek past bij de formule.
    4. `m(10) ~~ 0,41` dus zo'n 59 tienjarigen.
    5. `M ~~ 0,09`. Exponentiële groei tussen `(0;0,09)` en `(10;0,38)`, zodat `G ~~ 0,14`.
    6. Dit volgt uit `text(e)^(Gx) = 2`.
    7. Kalkoen: `SCVT = 3,3`.
      Spreeuw: `SCVT = 5,0`.
    8. Kalkoen: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,21x))`.
      Spreeuw: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,14x))`.
      Eerste grafiek eerder op nul, deze grafiek daalt in begin iets minder sterk, daarna sterkere daling. Meer "vergrijzing" bij de spreeuwen.