Normale toetsen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Er is sprake van een normale kansverdeling en er wordt alleen gekeken naar de situatie dat het gemiddelde in een steekproef lager is dan de opgegeven (of eerder gemeten) waarde voor de populatie.
    2. De consumentenbond is voornamelijk geïnteresseerd in het belang van consumenten en wil daarom niet dat een verpakking te weinig bevat. De fabrikant daarentegen wil ook niet teveel suiker in een pak stoppen, want dat kost hem geld. Dus de fabrikant zal waarschijnlijk tweezijdig toetsen.
    3. In dit geval mag de nulhypothese niet worden verworpen omdat `0,091 > 0,05`, het afgesproken significantieniveau.
    4. `text(P)(G <= g | mu = 1002 text( en ) sigma = 3) <= 0,05` geeft `g ~~ 997,065`.
      Het kritieke gebied is dan 997 gram of minder.
    1. Je kijkt dan naar het gemiddelde gewicht `bar(G)` in de steekproef en je test `text(H)_0: mu(bar(G)) = 1002` tegen `text(H)_1: mu(bar(G)) < 1002`.
      Voor de standaardafwijking van de verdeling geldt nu de `sqrt(n)`-wet, dus `sigma(bar(G)) = 3/(sqrt(100)) = 0,3`.
    2. `text(bar(G) <= 998 | mu(bar(G)) = 1002 text( en ) sigma(bar(G)) = 0,3) ~~ 0 < 0,05`.
      Nu is er wel reden om `text(H)_0` te verwerpen.
    1. Doen.
    2. `text(P)(bar(G) <= g | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) <= 0,005` geeft `g ~~ 999,55`.
      Er is nog steeds een significante afwijking.
    3. `text(P)(bar(G) <= g | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,42) <= 0,01` geeft `g ~~ 1001,02`.
      De consumentenbond krijgt gelijk als er gemiddeld minder dan 1001 gram wordt gevonden.
    1. Er wordt naar een afwijking van het gemiddelde zowel naar boven als naar beneden gezocht. De onbetrouwbaarheidsdrempel wordt verdeeld over beide ongelijkheden. Als er geen duidelijke reden is om dat anders te doen wordt `alpha` gewoon in twee gelijke delen verdeeld.
    2. `text(P)(bar(G) <= g_1 | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) <= 0,025` geeft `g_1 ~~ 1000,13`.
      `text(P)(bar(G) >= g_2 | mu = 1002 text( en ) sigma ~~ 0,95) <= 0,025` geeft `g_2 ~~ 1003,86`.
      Het kritieke gebied wordt `bar(G) <= 1000,1` of `bar(G) >= 1003,9`.
    1. `text(H)_0: mu = 0,200` en `text(H)_1: mu > 0,200` met `mu = (0,041)/(sqrt(80)) ~~ 0,0046`.
    2. `text(P)(bar(K) > 0,213 | mu = 0,200 text( en ) sigma ~~ 0,0046) ~~ 0,0024 < 0,01`, dus `text(H)_0` wordt verworpen.
  6. Je toetst `text(H)_0: mu = 175` tegen `text(H)_1: mu != 175` met `alpha = 0,01`.
    In de steekproef is `bar(C) = 177,375` en `sigma ~~ 8,901`. Deze `sigma` gebruik je als schatting voor de standaardafwijking van de populatie.
    `text(P)(bar(C) <= g_1 | mu = 175 text( en ) sigma ~~ (8,901)/(sqrt(8))) <= 0,005` geeft `g_1 ~~ 166,89`.
    `text(P)(bar(C) >= g_2 | mu = 175 text( en ) sigma ~~ (8,901)/(sqrt(8))) <= 0,005` geeft `g_2 ~~ 183,11`.
    De gevonden 177,375 ligt niet in het kritieke gebied en dus is de afwijking niet statistisch significant.
  7. Je toetst `text(H)_0: mu = 3600` tegen `text(H)_1: mu < 3600` met `alpha = 0,03`. (Je zou ook een dubbelzijdige toets kunnen doen, maar op grond van het steekproefresultaat ligt een enkelzijdig toets meer voor de hand.)
    In de steekproef is `bar(L) = 3300` en `sigma = 600/(sqrt(60))`.
    `text(P)(bar(L) <= g | mu = 3600 text( en ) sigma = 600/(sqrt(60))) <= 0,03` geeft `g ~~ 3454`.
    De gevonden 3300 ligt in het kritieke gebied en dus kun je met een betrouwbaarheid van 97% de bewering van de firma verwerpen.
    1. `text(P)(bar(G) < 53,3 | mu = 54,2 text( en ) sigma = (4,7)/(sqrt(200))) ~~ 0,0034 < 0,025`, dus `text(H)_0` wordt verworpen, het tijdschrift heeft niet gelijk.
    2. Bij een significantieniveau van ongeveer 0,34% of meer.
    3. Bij een significantieniveau van ongeveer 27,24% of meer. De betrouwbaarheid wordt duidelijk kleiner als de steekproef kleiner wordt.
    1. Je toetst `text(H)_0: mu = 0,022` tegen `text(H)_1: mu > 0,022`.
    2. Zie a, het wordt een enkelzijdig toets want kleinere hoeveelheden natriumnitriet zijn acceptabel, grotere niet.
    3. Steekproef: `bar(N) ~~ 0,022128` en `sigma(N) ~~ 0,000458`.
      `text(P)(bar(N) > 0,022128 | mu = 0,022 text( en ) sigma = (0,000458)/(sqrt(25))) ~~ 0,0811 > 0,05`, dus `text(H)_0` wordt niet verworpen, er is geen reden voor bezorgdheid.
    1. Doen, de cumulatieve relatieve frequenties zorgen voor een redelijk rechte lijn.
    2. `sigma ~~ 0,02` en `bar(V) = 3,4915`.
    3. `text(P)(bar(V) < 3,4915 | mu = 3,50 text( en ) sigma = (0,02)/(sqrt(20))) ~~ 0,0287 < 0,05`, dus `text(H)_0` wordt verworpen, de consumentenorganisatie kan de bewering van de fabrikant verwerpen.
  11. `text(P)(bar(M) > 252 | mu = 250 text( en ) sigma = 2/3) ~~ 0,0013 < 0,025`, dus `text(H)_0` wordt verworpen.
  12. Steekproef: `bar(K) = 16,025` en `sigma(K) ~~ 0,134`.
    `text(P)(bar(N) < 16,025 | mu = 16,4 text( en ) sigma = (0,134)/(sqrt(25))) ~~ 0,0000 < 0,02`, dus `text(H)_0` wordt verworpen, het kobaltgehalte is te klein.