Binomiale stochasten

Inleiding

Beantwoord de vragen bij Verkennen.


Uitleg

Opgaven

Opgaven

  1. Bekijk de stochast `X` in de Uitleg.
    1. Laat zien, dat E`(X) = 0,08` en `sigma(X) ~~ 0,86`.
    2. Nu is `K = 10X`. Leg uit waarom `K` de som van 10 onafhankelijke Bernoulli-experimenten is.
    3. Bereken P`(K = 4)`.

  2. Je werpt met twee dobbelstenen en bepaalt na de worp de som van het aantal bovenliggende ogen. De stochast `X` geeft aan of het aantal ogen zeven is of niet:
    1. Stel een kansverdeling van `X` op.
    2. Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van `X`.
    Je gooit nu twaalf keer met twee dobbelstenen. Je let op het aantal keer `A` dat je zeven ogen gooit.
    1. Hoe groot is de kans dat je drie keer zeven ogen gooit, dus hoe groot is P`(A = 3)`?
    2. Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van `A`.

Theorie

Bekijk eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bekijk in de Theorie wat een Bernoulli-experiment is en wat onder een binomiale kansverdeling wordt verstaan.
    1. Bij het Bernoulli-experiment hoort de stochast `B`. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van `B`.
    2. `X = n * B` is een binomiale stochast. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van `B`.

  2. In Voorbeeld 1 wordt met tien dobbelstenen geworpen en let je op het aantal zessen `X` dat boven komt.
    1. Waarom is `X` een binomiale stochast?
    2. Bereken P`(X = 6)`. Bereken deze kans met de hand en met behulp van de grafische rekenmachine. Bekijk eventueel
    3. Bereken de kans dat er hoogstens 6 zessen boven komen te liggen.

  3. Bekijk hoe in Voorbeeld 2 een kansverdeling wordt gemaakt met de grafische rekenmachine.
    1. Maak zelf de kansverdeling uit het voorbeeld.
    2. Reken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van stochast `X` na.

  4. In Voorbeeld 3 worden kansen berekend dat in een groep van 50 mannen er een bepaald aantal kleurenblind is.
    1. Bereken de kans op precies 6 kleurenblinden in de groep van 50.
    2. Bereken de kans op hoogstens 6 kleurenblinden in de groep van 50.
    3. Bereken de kans op minstens 6 kleurenblinden in de groep van 50.

  5. Een aantal mensen wordt ieder jaar ingeŽnt tegen griep. Van een bepaalde entstof weet men dat acht van de tien mensen geen griep krijgen. Een huisarts vaccineert vier patiŽnten A, B, C en D met deze entstof.
    1. Hoeveel patiŽnten zullen naar verwachting geen griep krijgen?
    2. Bepaal de kans dat geen van de vier patiŽnten griep krijgt.
    3. Bepaal de kans dat de patiŽnten A en B geen griep krijgen en C en D wel.
    4. Bepaal de kans dat twee van de vier patiŽnten griep krijgen.
    5. Bepaal de kans dat hoogstens twee van de vier patiŽnten griep krijgen.

  6. Er wordt 30 keer met een zuivere dobbelsteen gegooid. Bereken de kans dat er:
    1. Precies 5 keer een zes wordt geworpen.
    2. Bij alle worpen een oneven aantal ogen boven komt.
    3. Bij precies 10 worpen een 1 of 2 boven komt.

  7. In een doos bevindt zich een zeer groot aantal kralen. 40%van deze kralen is rood en de rest zwart. Je haalt hier aselect en met terugleggen 10 kralen uit.
    Stochast `X` is het aantal rode kralen.
    1. Waarom past bij `X` een binomiaal kansmodel?
    2. Leg uit hoe je de volgende kansen berekent:
      • P`(X <= 7)`
      • P`(X < 7)`
      • P`(X > 7)`
      • P`(4 <= X <= 7)`

  8. Neem aan dat stochast `X` binomiaal verdeeld is. Bepaal onderstaande kansen in vier decimalen nauwkeurig.
    1. P`(X <= 8 | n = 15 text( en ) p = 0,15)`
    2. P`(X <= 9 | n = 55 text( en ) p = 0,35)`
    3. P`(42 <= X <= 54 | n = 100 text( en ) p = 0,45)`
    4. P`(X <= 2 text( of ) X >= 5 | n = 8 text( en ) p = 1/3)`
    5. P`(X >= 10 | n = 16 text( en ) p = 0,005)`

Verwerken

  1. Een volledig kaartspel bestaat uit 52 kaarten, van elke kleur (ruiten, harten, klaveren en schoppen) evenveel. Uit zo'n kaartspel wordt zes keer een kaart getrokken. De kaart die je trekt wordt steeds in het spel terugstopt alvorens een nieuwe kaart te nemen. Het spel kaarten wordt voor iedere trekking geschud.
    1. Waarom is hier sprake van een binomiaal kansmodel?
    2. Hoe groot is dan de kans op hoogstens drie hartenkaarten?
    3. Hoe groot is de kans dat je meer dan drie hartenkaarten trekt?
    4. Waarom is er geen sprake van een binomiaal kansmodel als je de getrokken kaarten niet teruglegt?

  2. Iemand vult bij een meerkeuzetoets volkomen willekeurig 32 keer een van de vier antwoordmogelijkheden in. Er is telkens maar ťťn van deze keuzemogelijkheden juist. De toets wordt met een voldoende beoordeeld als er meer dan 22 vragen juist zijn ingevuld.
    1. Bepaal het aantal verwachte correcte antwoorden van de gokker.
    2. Bepaal de kans dat de gokker toch een voldoende haalt.
    3. Bepaal de standaardafwijking van het aantal goed gegokte antwoorden.

  3. Neem aan dat stochast `X` binomiaal verdeeld is. Bepaal onderstaande kansen in vier decimalen nauwkeurig.
    1. P`(X <= 6 | n = 20 text( en ) p = 0,45)`
    2. P`(X > 8 | n = 15 text( en ) p = 0,35)`
    3. P`(X >= 46 | n = 50 text( en ) p = 0,55)`
    4. P`(X <= 5 | n = 25 text( en ) p = 0,25)`
    5. P`(X < 16 | n = 30 text( en ) p = 0,45)`

  4. `X` is een binomiaal verdeelde toevalsvariabele. Voor welke waarde van `x` geldt:
    1. P`(X <= x | n = 100 text( en ) p = 0,35) = 0,1236`
    2. P`(X <= x | n = 18 text( en ) p = 0,45) < 0,7473`
    3. P`(X > x | n = 12 text( en ) p = 1/3) < 0,1777`

  5. `X` is een binomiaal verdeelde toevalsvariabele. Voor welke steekproefgrootte `a` geldt:
    1. P`(X >= 4 | n = a text( en ) p = 0,20) < 0,40`
    2. P`(X = 3 | n = a text( en ) p = 0,25) < 0,25`

  6. `X` is een binomiaal verdeelde toevalsvariabele. Hoe groot moet de kans `p_0` minstens zijn, als:
    1. P`(X <= 3 | n = 15 text( en ) p = p_0) > 0,2`
    2. P`(X >= 10 | n = 50 text( en ) p = p_0) < 0,2`
    3. P`(X = 4 | n = 9 text( en ) p = p_0) > 0,2`

  7. Van een binomiaal verdeelde stochast `X` weet je dat de verwachtingswaarde `2 2/3` is. De standaardafwijking is `1 1/3`.
    Bereken P`(X = 4)`.

  8. Je werpt met een geldstuk dat niet geheel eerlijk is. De kans op munt is 0,45. Je werpt 20 keer met dit geldstuk. Bereken de kans op:
    1. precies vijf keer kruis;
    2. niet meer dan vijf keer kruis;
    3. meer dan vijf keer kruis;
    4. minder dan vijf keer kruis;
    5. zeven of acht keer kruis.

  9. Een meerkeuzetoets bestaat uit 50 vragen, elk met vier mogelijke antwoorden, waarvan er slechts ťťn juist is.
    1. Bereken de kans op 15 goede antwoorden als je de vragen op goed geluk invult.
    2. Bereken de kans op meer dan 15 goede antwoorden bij willekeurig invullen van de toets.
    De docente die deze toets heeft gemaakt wil de normering ervan vaststellen. De cijfers worden tot op ťťn decimaal nauwkeurig berekend; het laagst mogelijke cijfer is 1,0 en het hoogst mogelijke 10,0. Zij wil bij het vaststellen van het cijfer het gokken van antwoorden zo min mogelijk belonen.
    1. Ze zou er daartoe voor kunnen kiezen om het aantal verwachte goede antwoorden bij zuiver gokken niet te belonen. Verder werkt ze met een vast aantal punten per vraag. Welke normering zou ze dan het best kunnen hanteren?
    2. Zij kan ook besluiten dat bij willekeurig invullen de kans op het cijfer 4,0 of hoger bij benadering niet meer dan 3% mag zijn. Voor hoeveel goede antwoorden wordt dan het cijfer 4,0 gegeven?
    3. Is de tweede methode soepeler dan de eerste? Licht je antwoord toe.
    4. Stel je voor dat je op 30 vragen zonder meer het antwoord weet en de rest gokt. Bereken bij elk van deze normeringen het cijfer dat je dan mag verwachten.
    Ga er nu van uit dat er een zuivere lineaire puntenverdeling wordt gehanteerd:
    1. Je weet op 30 vragen het goede antwoord en besluit de rest van de vragen op goed geluk in te vullen. Welk cijfer kun je verwachten?
    2. Bereken de kans dat je 7,6 of meer scoort.
    3. Bij `n` zeker goede antwoorden en de overige vragen willekeurig invullen is de kans op minstens 7,0 groter dan 90%. Bereken `n`.

Testen

  1. Je werpt 10 keer met een zuiver geldstuk. Stochast `K` geeft het aantal keren kruis bij deze worpen.
    1. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van stochast `K`.
    Stochast `L` geeft het aantal keren kruis als je 1000 keer gooit.
    1. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van `L`.

  2. Een test bestaat uit 15 vierkeuzevragen. Slechts bij 5 van deze vragen kun je met zekerheid het goede antwoord aangeven. Je besluit de 10 andere vragen op goed geluk een antwoord aan te geven.
    1. Hoe groot is de kans dat je 12 vragen van de test het goede antwoord hebt gegeven?
    2. Hoe groot is de kans dat je meer dan 5 vragen goed beantwoordt?
    3. Hoeveel vragen van de test mag je verwachten goed te beantwoorden?

  3. In het casino mag je voor € 10,00 met tien zuivere dobbelstenen werpen. Voor iedere dobbelsteen waar je minder dan 4 ogen mee gooit krijg je € 2,00 uitbetaald.
    Hoe groot is de kans dat je winst maakt bij dit spel?