Logaritmische functies

Inleiding

Logaritmen ontstaan als inverse bewerking van exponentiële functies.
Ook met logaritmen kun je functievoorschriften maken.
Het prototype is de functie f(x) = glog(x).
Alle functies die hieruit door de bekende transformaties kunnen ontstaan noem je logaritmische functies. En die ga je nu bekijken...

Je leert nu:

Je kunt al:

Verkennen

Op je grafische rekenmachine kun je de grafiek van f(x) = 2log(x) in beeld brengen. Je voert dan in: y1 = log(x) / log(2).

> Breng de grafiek in beeld.
> Welk domein en welk bereik heeft f?
> Welke asymptoot heeft de grafiek van f?
> Bekijk de tabel. Bij welke waarden van x krijg je gehele functiewaarden?


Uitleg

Je ziet hier de grafiek van y = gx.
Deze uitdrukking is gelijkwaardig met x = glog(y).
Verwissel je nu x en y, dan krijg je y = glog(x).
De grafiek van deze tweede logaritmische functie ontstaat dus door vanuit een exponentiële functie terug te rekenen (de inverse bewerking uit te voeren) en vervolgens x en y te verwisselen.
De grafiek wordt dan gespiegeld in de lijn y = x.

Bij elk punt P op de grafiek van y = gx hoort een punt P' dat ontstaat door x en y te verwisselen op de grafiek van y = glog(x).

De karakteristieken van een logaritmische functie zijn daarom af te leiden uit die van een exponentiële functie (met hetzelfde grondtal) door x en y te verwisselen. Beide functies zijn elkaars inverse functie.

Opgaven

  1. In de Uitleg wordt het verband besproken tussen de grafieken van bijvoorbeeld `y_1 = 2^x` en `y_2 = `2`log(x)`.
    1. Maak beide grafieken op je grafische rekenmachine.
    2. Het punt `(4,2)` ligt op de grafiek van `y_2`. Welk punt op de grafiek van `y_1` is het spiegelbeeld van dit punt bij spiegeling in de lijn `y = x`?
    3. Noem nog twee punten op de grafiek van `y_2` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `y_1`.
    4. Welke verband bestaat er tussen het bereik van `y_1` en het domein van `y_2`?

Theorie

Een functie van de vorm f(x) = glog(x) heet een logaritmische functie. Hierin is g > 0 en g ≠ 1 een vast gekozen grondtal.

De grafieken van de functies y = gx en y = glog(x) zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de lijn y = x. Beide functies zijn elkaars inverse functie.

De karakteristieken van y = glog(x) zijn daarom af te leiden uit die van y = gx:

Alle functies die door transformatie uit y = glog(x) kunnen ontstaan heten logaritmische functies.

Voorbeeld 1

Bepaal de karakteristieken van de logaritmische functie f(x) = 1 + 0,5log(x) en bereken het nulpunt van de grafiek.
Leg uit waarom deze functie dezelfde grafiek heeft als g(x) = 1 – 2log(x).

Antwoord

De grafiek van f kan uit de grafiek van y = 0,5log(x) ontstaan door deze 1 eenheid in de y-richting te verschuiven. Omdat het grondtal tussen 0 en 1 ligt is de grafiek dalend. Verder moet x > 0, dus Df =  0,  en Bf =  .
De verticale asymptoot is x = 0, de grens van het domein.

Het nulpunt bereken je zo: f(x) = 0 geeft 0,5log(x) = –1.
Hieruit volgt: x = 0,5–1 = 2.
Het nulpunt is daarom (2,0).

Deze functie f heeft dezelfde als functie g omdat 0,5log(x) = 2log(x) / 2log(0,5) = –2log(x).

Voorbeeld 2

Bekijk de applet over logaritmische functies via

Voorbeeld 3

Bepaal de karakteristieken van de logaritmische functie f(x) = 4 · log(100 – 2x) – 10 en bereken het nulpunt van de grafiek.

Antwoord

Door de nogal grote getallen is het verstandig om systematisch de karakteristieken te zoeken:

Je kunt nu de grafiek op de GR maken.

Het nulpunt volgt uit: f(x) = 4 · log(100 – 2x) – 10 = 0.
Dit levert op: log(100 – 2x) = 2,5 en dus 100 – 2x = 102,5.
Ga na, dat daaruit volgt: x ≈ –108,11.
Het nulpunt van de grafiek is ongeveer (–108,11; 0).

Opgaven

  1. Teken de grafieken van `y_1 = (1/2)^x` en `y_2 = `1/2`log(x)` op je grafische rekenmachine. De eigenschappen van `y_2` kun je afleiden uit die van `y_1`. Bekijk de Theorie.
    1. Schrijf het domein, het bereik en de asymptoot van de functie `y_2` op.
    2. Voor welke waarde van `x` is `y_2 = 2`?
    3. Voor welke waarden van `x` geldt `y_2 > 2`?

  2. Maak de grafiek van de functie `f(x) = `3`log(x)`.
    1. Schrijf het domein, het bereik en de asymptoot van de functie `f` op.
    2. Voor welke waarde van `x` is `f(x) = 2`?
    3. Voor welke waarden van `x` geldt `f(x) > 2`?
    4. Voor welke waarden van `x` geldt `f(x) < 2`?

  3. In Voorbeeld 1 zie je hoe de karakteristieken van een logaritmische functie kunnen worden berekend.
    Maak de grafiek van de functie `f(x) = -1 + 2 * `0,3`log(x - 1)`.
    Gebruik eventueel de applet bij Voorbeeld 2.
    1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
    2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
    3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = `0,3`log(x)`?
    4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.

  4. Bekijk Voorbeeld 3.
    Maak de grafiek van de functie `f(x) = 2 + 3 * `2`log(x + 4)`.
    Gebruik eventueel de applet bij Voorbeeld 2.
    1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
    2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
    3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = `2`log(x)`?
    4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.


Verwerken

  1. Maak de grafiek van de functie `f(x) = 1 - 3 * log(x + 4)`.
    1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
    2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
    3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = log(x)`?
    4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.

  2. De grafieken van de functies `f(x) = (1/2)^x` en `g(x) = 2^x` zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de `y`-as.
    De grafieken van de functies `h(x) = `1/2`log(x)` en `k(x) = `2`log(x)` moeten dan elkaar spiegelbeeld zijn ten opzichte van de `x`-as. Dat wil zeggen dat `h(x) = -k(x)`.
    1. Voor welke waarde van `x` is `h(x) = 3`?
    2. Voor welke waarde van `x` is `k(x) = -3`?
    3. Het punt `(1/8, 3)` op de grafiek van `h` heeft een spiegelbeeld op de grafiek van `k`. Wat zijn de coördinaten van dit spiegelbeeld?
    4. Geef nog een punt op de grafiek van `h` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `k`.
    5. Teken de grafieken van `h` en `k` in één figuur en los op: `h(x) = k(x)`.
    6. Om de vergelijking 1/2`log(x) = -`2`log(x)` voor willekeurige `x > 0` te controleren schrijf je beide functievoorschriften in de vorm waarin je ze in de grafische rekenmachine kunt invoeren. Toon nu aan dat `h(x) = -k(x)` voor willekeurige `x > 0`.

  3. Lichtgevoeligheid van fotografisch opnamemateriaal wordt uitgedrukt in een gevoeligheidsgetal. Het meest gebruikte systeem hiervoor is het ASA-systeem (American Standards Association). Op filmrolletjes staat meestal ook een ander gevoeligheidsgetal vermeld, de DIN-waarde. Het verband tussen ASA en DIN wordt gegeven door de formule

    `y = 1 + a * log x`

    Hierin geeft `x` de lichtgevoeligheid in ASA aan en `y` de lichtgevoeligheid in DIN. Een film van 100 ASA heeft een DIN-waarde 21.
    1. Bereken `a`.
    2. Maak de grafiek. De meest gangbare films hebben een ASA-waarde tussen 50 en 1000.
    3. Hoeveel ASA heeft een film met een gevoeligheid van 31 DIN?

  4. Gegeven zijn de functies `f(x) = `2`log(x)` en `g(x) = `2`log(2 - x)`.
    1. Bepaal het domein, het bereik en de asymptoot van de functies `f` en `g`.
    2. De grafiek van de functie `g` ontstaat door transformatie uit die van `f`. Beschrijf de transformaties in de juiste volgorde.
    3. Teken de grafiek van de functies `f` en `g` en los op: `f(x) = g(x)`.
    4. In welke lijn zijn de grafieken van `f` en `g` elkaars spiegelbeeld?

Testen

  1. Het verband tussen de (gemiddelde) lengte `L` in cm en het (gemiddelde) gewicht `G` in kg voor kinderen tussen 6 en 13 jaar wordt gegeven door de formule

    `L = k * log(G/G_0)`

    De constanten `G_0` en `k` hangen af van de leefomstandigheden. Voor de westerse wereld geldt `G_0 = 2,4` (in één decimaal nauwkeurig).
    1. Mark (8 jaar) woont in Nederland en heeft een lengte van 1,30 m en weegt 26,3 kg. Bereken `k` in gehelen nauwkeurig. Neem aan dat Mark wat lengte en gewicht betreft een gemiddeld Nederlands kind is.
    2. Helen is 1,40 m lang. Schat haar gewicht in kg.
    3. Schrijf de formule in de vorm `G = b * g^L`, voor `k = 120`. Geef daarbij `g` in vier decimalen nauwkeurig.

  2. Gegeven zijn de functies `f` en `g` met voorschriften `f(x) = `1/3`log(2x)` en `g(x) = `3`log(3x - 6)`.
    1. Bepaal domein, bereik en asymptoot van `f` en teken de grafiek van `f`.
    2. Door middel van welke transformaties kan de grafiek van `f` ontstaan uit die van `y = `1/3`log(x)`?
    3. Bepaal domein, bereik en asymptoot van `g` en teken de grafiek van `g`.
    4. Door middel van welke transformaties kan de grafiek van `g` ontstaan uit die van `y = `3`log(x)`?
    5. Los op in drie decimalen nauwkeurig: `f(x) = g(x)`.