Series evenwijdige doorsneden

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Ruimtelijke figuren > Series doorsneden > Inleiding

Probeer de opdrachten bij Verkennen zo goed mogelijk uit te voeren.
Met de linker muisknop kun je punt `S` verplaatsen en het groene vlak "door de kubus bewegen". Je ziet dan de verschillende doorsneden. Met de rechter muisknop kun je de figuur bewegen en hem zo van alle kanten bekijken.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Ruimtelijke figuren > Series doorsneden > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door. Je vindt daar ook enkele antwoorden op de opdrachten die je bij Verkennen moest uitvoeren.

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg.
   1. Teken een kubus `ABCD.EFGH` met ribben van 4 cm.
   2. Hoe zien alle doorsneden evenwijdig aan vlak `ABCD` er uit?
   3. Teken een serie doorsneden evenwijdig aan vlak `BFHD` in de kubus. Teken alle doorsneden die door een hoekpunt of het midden van een ribbe van de kubus gaan.


2. Bekijk opnieuw de kubus `ABCD.EFGH` met ribben van 4 cm.
   1. Teken deze kubus nog eens.
   2. Teken een serie doorsneden loodrecht op lichaamsdiagonaal `EC` in de kubus. Teken alle doorsneden die door een hoekpunt of het midden van een ribbe van de kubus gaan.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Ruimtelijke figuren > Series doorsneden > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven word je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 kun je de doorsneden bekijken van een vlak dat evenwijdig is met vlak `GHIJ` en een gelijkbenig prisma `ABC.DEF`. De punten `G`, `H`, `I` en `J` zijn de middens van de ribben waarop ze liggen. `ACFD` is een vierkant met ribben van 4 cm en `AB = BC = 6` cm.
   1. Teken het prisma met daarin de doorsnede `GHIJ`.
   2. Teken in je figuur de doorsneden die evenwijdig zijn met `GHIJ` en gaan door punt `D` dan wel punt `K`.
   3. Teken de doorsnede door punt `K` op ware grootte.


4. Als je een serie horizontale of verticale doorsneden die op vaste afstand van elkaar zijn gemaakt, kun je meestal de figuur die is doorsneden wel herkennen.
   In de Theorie kun je een serie verticale doorsneden van een piramide `T.KLMN` bekijken. Ga er van uit dat `KLMN` een vierkant is met zijden van 4 cm en dat de piramide een hoogte heeft van `TS = 6` cm als `S` het snijpunt is van `KM` en `LN`.
   1. Teken een serie van vijf doorsneden van een vlak evenwijdig aan `ABCD`. De middelste doorsnede bevat `TS`, de hoogte van de piramide.
   2. Bekijk nu de series doorsneden in Voorbeeld 2. Teken de twee bijbehorende ruimtelijke figuren.


5. Hoe je zelf een serie doorsneden tekent zie je in Voorbeeld 3. Daar worden doorsneden evenwijdig aan het vlak door `P`, `Q` en `R` met een gegeven balk geconstrueerd. Van de balk `ABCD.EFGH` is `AB = 4`, `BC = 8` en `AE=3`.
   1. Teken zo'n balk en de doorsnede van het vlak `PQR` met die balk er in. Beschrijf hoe de constructie wordt uitgevoerd.
   2. Teken de doorsnede van het vlak door `M` en evenwijdig aan `PQR` met de balk.
   3. Teken de doorsnede van het vlak door `F` en evenwijdig aan `PQR` met de balk.
   4. Teken de doorsnede van het vlak door `E` en evenwijdig aan `PQR` met de balk.


6. Dit is de "Step Star", een 3D puzzle. Als alle puzzelstukjes op hun plaats zitten krijg je een figuur die precies in een kubus past en ribben heeft van 1 cm, 2 cm en 3 cm. De figuur lijkt een doorlopende balk die steeds onder een rechte hoek een knik maakt.
   
   
   
   
   1. Teken een vooraanzicht, een zijaanzicht en een bovenaanzicht van de "Step Star". Je hoeft niet te letten op de afzonderlijke puzzelstukjes en de zwarte randjes.
   2. Teken een serie doorsneden van de "Step Star" die evenwijdig zijn aan het grondvlak, het vlak waarop hij in de foto staat. Maak doorsneden die steeds 1 cm boven elkaar liggen, te beginnen met het grondvlak zelf.

Verwerken

7. Je ziet hier een prisma `ABC.DEF` waarvan twee grensvlakken vierkant zijn. Deze vierkanten hebben zijden van 4 cm. Verder is gegeven: `/_ACB = 90^o`, `AG = 1` en `BH = 1`.
   
   
   
   
   1. Teken een doorsnede door punt `B` en evenwijdig met vlak `GHD`.
   2. Teken een doorsnede door het midden `M` van `BE` en evenwijdg met vlak `GHD`.
   3. Hoe ziet de doorsnede er uit van een vlak door `E` en evenwijdig met vlak `GHD`?


8. Van de achtkanter `ABCD.EFGH` is het grondvlak `ABCD` een vierkant van 4 bij 4, de hoogte 4 en het bovenvlak `DEFG` een vierkant met diagonalen van 2 eenheden. In deze achtkanter is een horizontale doorsnede getekend door de midden van alle opstaande ribben.
   Teken van deze achtkanter een serie van vijf doorsneden evenwijdig aan het getekende vlak op ware grootte. De doorsneden liggen steeds op een afstand van 1 cm van elkaar en het getekende vlak zelf is één van die doorsneden.
   


9. Hier zie je een serie verticale doorsneden van een lichaam. De afstand tussen de doorsneden is telkens 0,5 cm. Teken een parallelprojectie van dit lichaam.
   
   
   
   


10. Je ziet hier de doorsnede van het vlak door `P`, `Q` en `R` en het regelmatige driezijdige prisma `ABC.DEF`. Teken een hiermee evenwijdige doorsnede door het punt `A` en een hiermee evenwijdige doorsnede door het midden `M` van ribbe `BE`.
    
    
    
    


11. Teken een serie parallelle doorsneden van een kegel, evenwijdig aan de as van de kegel. De afstand tussen de doorsneden is 1 cm. De kegel is 5 cm hoog en de straal van de grondcirkel is 3 cm. Laat zien hoe je dit aanpakt, geef eventuele berekeningen.
    


12. Teken een serie parallelle doorsneden van een bol met een straal van 3 cm. De aftstand tussen de doorsneden is 1 cm. Laat zien hoe je dit aanpakt, geef eventuele berekeningen.
    

Testen

13. Hier zie je een aantal evenwijdige doorsneden van een vaas. De doorsneden zijn steeds op een onderlinge afstand van 10 cm genomen. De wanddikte van de vaas is 2,5 cm. Een mogelijke vaas heeft de vorm van twee afgeknotte kegels op elkaar.
    
    
    
    Teken een vaas van die vorm met de kleinste inhoud die bij deze doorsneden past. Zet de afmetingen er bij.
    


14. Dit is een afgeknotte octaëder (regelmatig achtvlak). Het oorspronkelijke achtvlak had zes hoekpunten die allemaal 4 cm af lagen van het snijpunt `M` van de drie lichaamsdiagonalen van het achtvlak. De gekleurde vlakjes geven aan hoe de octaëder is afgeknot. Deze vlakjes liggen allemaal 3 cm van `M` verwijderd.
    Teken een serie van 7 horizontale doorsneden van deze afgeknotte octaëder die steeds op 1 cm afstand van elkaar liggen.