Voorbeeld

Gegeven is op [–2π,2π] de functie f met f(x) = cos(2x) – 2 cos(x).
Bereken de nulpunten van deze functie en los op: f(x) = –1.

Antwoord

Voor de nulpunten moet je oplossen f(x) = cos(2x) – 2 cos(x) = 0.
Hierbij maak je gebruik van cos(2x) = 2 cos²(x) – 1.
De vergelijking wordt dan: 2 cos²(x) – 1 – 2 cos(x) = 0.
Schrijf je dit als 2 cos²(x) – 2 cos(x) – 1 = 0, dan krijg je een kwadratische vergelijking in cos(x). Die kun je oplossen met de abc-formule:
cos(x) = $\frac{2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot -1}}{2\cdot 2}=\frac{2\pm \sqrt{12}}{4}$.
Dit levert op: cos(x) = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$  V  cos(x) = $\frac{1}{2}$ – $\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$.
Nu zijn benaderingen nodig, bijvoorbeeld in twee decimalen nauwkeurig:
cos(x) ≈ 1,366  V  cos(x) ≈ –0,366.
Alleen cos(x) ≈ –0,366 heeft oplossingen, namelijk
x = arccos(–0,366) + k · 2π  V  x = –arccos(–0,366) + k · 2π.
Er zijn dus twee series nulpunten: (1,95 + k · 2π,0) en (–1,95 + k · 2π,0).

De vergelijking f(x) = cos(2x) – 2 cos(x) = –1 geeft op dezelfde manier:
2 cos²(x) – 1 – 2 cos(x) = –1 en dus 2 cos²(x) – 2 cos(x) = 0.
Ontbinden is nu mogelijk: 2 cos(x)(cos(x) – 1) = 0.
Je vindt daarom: cos(x) = 0  V  cos(x) = 1.
En daarvan kun je gemakkelijk alle antwoorden opschrijven...